Iván Darío Gómez (FaMAF)
Jueves 7 de noviembre 14.30hs., Aula 27.
La clasificación de módulos indescomponibles de dimensión finita sobre un álgebra de Lie es un problema muy complicado. En el caso de álgebras de Lie semisimples la clasificación de todos los módulos indescomponibles de dimensión finita esta dada por todos los módulos irreducibles y para un álgebra de Lie simple los módulos irreducibles de dimensión finita son clasificados por los pesos dominantes del álgebra.
Cuando un álgebra de Lie es no-semisimple el problema es mucho mas complicado, lo cual no evita identificar familias distinguidas de módulos indescomponibles, una de estas familias son los módulos cíclicos perfectos, donde un ℊ-módulo V es cíclico perfecto sobre un álgebra de Lie ℊ con descomposición de Levi $\mathfrak{s}\ltimes \mathfrak{r}$ si V=U(ℊ)W
donde U(ℊ) es la envolvente universal del álgebra de Lie ℊ y W es un $\mathfrak{s}$-módulo irreducible.
La primera parte de esta charla se mostrara la clasificación de los sl(2)⋉ V(1)- módulos cíclicos perfectos donde $V(1)$ es un $\mathfrak{sl}(2)$-módulo irreducible de peso máximo 1 dado por A. Piard en [1], Enunciado en el siguiente Teorema:
El conjunto de todas las clases de isomorfismos de los sl(2)⋉ V(1)-módulos cíclicos perfectos están en correspondencia uno a uno con el conjunto de sucesiones $(n_0,n_1,\cdots,n_k)$ donde $k\leq n_0$ y $n_{i+1}\leq n_i$ para todo $1\leq i \leq k$.
Mas recientemente P. Casati en [2] da una clasificación de los $\mathfrak{sl}(n+1)\ltimes \mathbb{C}^{n+1}$-módulos cíclicos perfectos.
En la segunda parte, veremos nuevos $\mathfrak{sl}(2)\ltimes V(1)$-módulos indescomponibles cíclicos no-perfectos a través del producto tensorial de algunos $\mathfrak{sl}(2)\ltimes V(1)$-módulos uniseriales que son aquellos módulos con una sola serie de composición la cual es una subfamilia de la familia de $\mathfrak{sl}(2)\ltimes V(1)$-módulos cíclicos perfectos.
Referencias:
[1] A. Piard. Sur des représentations indécomposables de dimension finie de $SL(2).R^2$. Journal of Geometry and Physics, Volume 3, Issue 1, 1986, 1–53
[2] P. Casati. The classification of the perfect cyclic $\math{sl}(n+1)\ltimes \mathbb{C}^{n+1}$-modules. Journal of Algebra 476 (2017) 311-343
[3] L. Cagliero y F. Szechtman, The classification of uniserial $\mathfrak{sl}(2)\ltimesV (m)$−modules and a new interpretation of the Racah-Wigner 6j-symbols, J. of Algebra, Volume 386 (2013), 142-175.