Módulos cíclicos perfectos del álgebra de Lie sl(2) ⋉ V(1)

Iván Darío Gómez (FaMAF)

Jueves 7 de noviembre 14.30hs., Aula 27.

La clasificación de módulos indescomponibles de dimensión finita sobre un álgebra de Lie es un problema muy complicado. En el caso de álgebras de Lie semisimples la clasificación de todos los módulos indescomponibles de dimensión finita esta dada por todos los módulos irreducibles y para un álgebra de Lie simple los módulos irreducibles de dimensión finita son clasificados por los pesos dominantes del álgebra.
Cuando un álgebra de Lie es no-semisimple el problema es mucho mas complicado, lo cual no evita identificar familias distinguidas de módulos indescomponibles, una de estas familias son los módulos cíclicos perfectos, donde un ℊ-módulo V es cíclico perfecto sobre un álgebra de Lie ℊ con descomposición de Levi  $\mathfrak{s}\ltimes \mathfrak{r}$ si V=U(ℊ)W
donde U(ℊ) es la envolvente universal del álgebra de Lie ℊ y W es un $\mathfrak{s}$-módulo irreducible.
La primera parte de esta charla se mostrara la clasificación de los sl(2)⋉ V(1)- módulos cíclicos perfectos donde $V(1)$ es un $\mathfrak{sl}(2)$-módulo irreducible de peso máximo 1 dado por A. Piard en [1], Enunciado en el siguiente Teorema:
El conjunto de todas las clases de isomorfismos de los sl(2)⋉ V(1)-módulos cíclicos perfectos están en correspondencia uno a uno con el conjunto de sucesiones $(n_0,n_1,\cdots,n_k)$ donde $k\leq n_0$ y $n_{i+1}\leq n_i$ para todo $1\leq i \leq k$.
Mas recientemente P. Casati en [2] da una clasificación de los $\mathfrak{sl}(n+1)\ltimes \mathbb{C}^{n+1}$-módulos cíclicos perfectos.

En la segunda parte, veremos nuevos $\mathfrak{sl}(2)\ltimes V(1)$-módulos indescomponibles cíclicos no-perfectos a través del producto tensorial de algunos $\mathfrak{sl}(2)\ltimes V(1)$-módulos uniseriales que son aquellos módulos con una sola serie de composición la cual es una subfamilia de la familia de $\mathfrak{sl}(2)\ltimes V(1)$-módulos cíclicos perfectos.


Referencias:

[1] A. Piard. Sur des représentations indécomposables de dimension finie de $SL(2).R^2$. Journal of Geometry and Physics, Volume 3, Issue 1, 1986, 1–53
[2] P. Casati. The classification of the perfect cyclic $\math{sl}(n+1)\ltimes \mathbb{C}^{n+1}$-modules. Journal of Algebra 476 (2017) 311-343
[3] L. Cagliero y F. Szechtman, The classification of uniserial $\mathfrak{sl}(2)\ltimesV (m)$−modules and a new interpretation of the Racah-Wigner 6j-symbols, J. of Algebra, Volume 386 (2013), 142-175.

Sobre solubilidad de álgebras de Hopf semisimples

Guillermo Sanmarco (FaMAF)

Jueves 31 de octubre 14.30hs., Aula 26.

La noción de solubilidad para álgebras de Hopf semisimples resulta un tanto esquiva. Por ejemplo, siguiendo [ENO], se podría decir que un álgebra de Hopf semisimple es soluble si la categoría de fusión asociada lo es. Sin embargo, bajo esta definición, las álgebras de Hopf nilpotentes o conmutativas no son necesariamente solubles. 
En esta charla presentaremos la noción de solubilidad introducida recientemente en [CW]. Mostraremos una serie de resultados que reflejan su consistencia con la noción correspondiente para grupos finitos. En particular, veremos que las álgebras de Hopf nilpotentes resultan solubles y que el teorema de Burnside vale bajo una hipótesis adicional.

Álgebras de pre-Nichols de dimensión de Gelfand-Kirillov finita de trenzas de tipo Cartan finito

Guillermo Sanmarco (FaMAF)

Jueves 10 de octubre 14.30hs., Aula 27

Resumen: En el programa de clasificación de álgebras de Hopf punteadas juegan un papel fundamental las álgebras de pre-Nichols. El objetivo de esta charla es mostrar resultados provisorios que apuntan a clasificar todas las álgebras de pre-Nichols de dimensión de Gelfand-Kirillov finita de los espacios vectoriales trenzados de tipo Cartan finito. Para ello introduciremos las noción de (familias de) álgebras de pre-Nichols eminentes y mostraremos su relación con el álgebra de pre-Nichols distinguida introducida por Angiono. Trabajo en progreso en conjunto con Nicolás Andruskiewitsch.

Algebraic realization of non-commutative near-group categories

Henry J. Tucker (University of California, Riverside, Estados Unidos)

Jueves 8 de agosto 14.30hs. Aula 27.

Near-group fusion categories are those with only one non-invertible object. Non-commutative near-group fusion categories (those with non-abelian group of invertible objects) were completely classified by Izumi using an operator algebraic method (and hence under the assumption of unitarity). They were shown to be group theoretical, i.e. categorically Morita equivalent to pointed fusion categories, though the corresponding pointed categories were not identified. We now give purely algebraic construction of the noncommutative near-group categories starting from pointed fusion categories. This work is joint with Izumi.

Nichols algebras and finite-dimensional pointed Hopf algebras over Suzuki and Ree groups

Giovanna Carnovale (Universidad de Padova, Italia)

Jueves 4 de julio 14.30hs. Aula 27.

joint work with Mauro Costantini, part of a long-term project with Nicolás Andruskiewitsch and Gastón Garcia.

Andruskiewitsch and Graña have shown that Nichols algebras can be constructed starting from a rack X and a 2-cocycle on X. Several conditions (type C, D or F) on a rack X have been proved to ensure that the associated Nichols algebras are infinite-dimensional for any choice of the cocycle. Since this criteria are well-behaved with respect to projections and inclusions, it is of great interest to understand which simple racks satisfy one of these conditions. Among simple racks we have the family of conjugacy classes in a non-ablelian finite simple group with rack structure x>y=xyx^{-1}. In this case  these conditions are easily stated in group theoretic terms. Suzuki and Ree  groups form three families of simple groups of Lie type, associated with root systems of type B2, F4 and G2 and a Coxeter graph automorphism. After recalling the state of the art concerning the other families of finite simple groups, we will discuss the problem of listing which classes are of type C, D, or F in  Suzuki and Ree groups and the related question of the existence of finite-dimensional pointed Hopf algebras whose group of grouplikes is one of them.

Álgebras de Nichols y Haces perversos

Grupo de Trabajo

Martes 2 de Julio 15hs. Aula 11.

Vamos a comenzar la lectura y estudio del artículo arXiv:1904.09325 [math.AT] «Shuffle algebras and perverse sheaves», de Mikhail Kapranov y Vadim Schechtman.

Álgebra homológica en lenguaje Hopf co-Frobenius

Marco Farinati (UBA – CONICET)

Viernes 14 de junio 14.30hs. Aula 27.

Utilizando categorías (estables de) de representaciones de álgebras de Hopf de dimensión finita, Khovanov encontró ejemplos de categorías trianguladas tensoriales. En particular, para cada N natural, se obtiene fácilmente una categoría cuyo K_0 es el anillo Z[t]/(1+t+…+t^{N-1}). Notar que si N=p es primo, este anillo es el anillo de enteros ciclotómicos Z[\xi_p]. La hipótesis central en el trabajo de Khovanov es que el álgebra de Hopf H sea un álgebra de Frobenius, lo que fuerza a que H sea de dimensión finita.
En esta charla mostraremos cómo modificar estas ideas para que se pueda describir al álgebra homológica clásica, que necesita de comódulos sobre un álgebra en particular que es de dimensión infinita. Más aún, la construcción tiene sentido para álgebras de Hopf co-Frobenius, y el funtor que corresponde a tomar (co)homología tiene una traducción natural en lenguaje Hopf-co-Frobenius. En cuanto al K_0 de la categoría estable, este se puede describir como un cociente del K_0 del coradical. Esta descripción calcula completamente el K_0 para el caso H = k[G]# B, el  producto cruzado de un álgebra de Nichols de dimensión finita por un álgebra de grupo arbitrario.

Commutator theory for rack and quandles

Marco Bonatto (IMAS – CONICET)

Jueves 23 de mayo 14.30hs. Aula 27

Quandles are idempotent lef-distributive left-quasigroups and they arise in different areas of mathematics as knot theory, the study of solutions of the set theoretic Yang-Baxter equation, braiding vector spaces and Nichols algebras.

Group and module theory has been used to investigate quandles exploiting the strong interplay between the properties of a quandle Q and the group-theoretical properties of its displacement group.

In a recent paper we adapt commutator theory for general algebras (in the sense of Freese, McKenzie [FM87]) to the setting of quandles [BS19]. We proved that properties as abelianness and centrality of congruences are completely characterized by the properties of the displacement group and its subgroups. Moreover there exists a Galois connection between the congruence lattice of a quandle and a sublattice of the normal subgroups of the displacement group, which can be exploited to get information on the displacement group from its congruence lattice and vice versa. These techniques are particularly useful for connected quandles, which admits a representation over their displacement groups. Some new results based on this theory are the classification of connected quandles of size p 3 [BB19] and of size pq and 4p (in preparation) where p and q are primes and the characterization of doubly homogenous quandles [Bon19].

References
[BB19] Giuliano Bianco and Marco Bonatto, On connected quandles of prime power order, arXiv e-prints (2019), arXiv:1904.12801.
[Bon19] Marco Bonatto, Principal and doubly homogeneous quandles, arXiv e-prints (2019), arXiv:1904.13388.
[BS19] Marco Bonatto and David Stanovský, Commutator theory for racks and quandles, arXiv e-prints (2019), arXiv:1902.08980.
[FM87] Ralph Freese and Ralph McKenzie, Commutator theory for congruence modular varieties, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 125, Cambridge University Press, Cambridge, 1987. MR 909290

Funciones Esféricas en grupos finitos

Carmen Luz Blanco (FaMAF – CIEM)

Jueves 16 de mayo 14.30hs. Aula 27

Sean G un grupo finito y K un subgrupo, sea \pi una representación irreducible de K. En esta charla se establecerá el concepto de función esférica de G de tipo \pi, las principales propiedades de éstas y dos caracterizaciones útiles.

La primera de estas caracterizaciones relaciona las funciones esféricas irreducibles de G de tipo \pi con las representaciones irreducibles de G en las que aparece \pi.

Para la segunda caracterización consideramos A[G] el álgebra grupo de G y la sub-álgebra A[G]^K de K- puntos fijos por conjugación. Se caracterizan a las funciones esféricas irreducibles de G de tipo \pi con las auto-funciones de un determinado operador en diferencias definido en A[G]^K.

Álgebras de Nichols en característica positiva

Iván Angiono (FaMAF -CIEM)

Jueves 2 de mayo 14.30hs. Aula 27

En esta charla presentaremos ejemplos de álgebras de Nichols de dimensión finta sobre cuerpos de característica positiva, que se realizan sobre grupos abelianos. Estos ejemplos se corresponden con álgebras de Nichols de dimensión de Gelfand-Kirillov finita en característica cero y sus trenzas involucran bloques de Jordan y Super-Jordan.