Seminar of May 24th

24/05/2018, Room 27, 2:30 pm, FaMAF

Introduction to Representation Theory of Quantum Algebras

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Speaker: Henrique Teixeira Tyrrell Tavares (Radboud University)

Abstract:
Abstract: We shall investigate highest weight modules one of the main family of representations of quantum algebras and their properties. We will also mention its relation to finite-dimensional representations and some generalizations.

Seminario del 10 de Mayo

 10/5/2018, Aula 27, FaMAF

Sobre la estructura de las categorías de fusión trenzadas débilmente de tipo grupo.

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Expositor: Sonia Natale

Resumen:
En esta charla se recordará la definición de núcleo de una categoría de fusión trenzada, introducida por Drinfeld, Gelaki, Nikshych y Ostrik, y su relación con las categorías de fusión trenzadas G-cruzadas, donde G es un grupo finito, introducidas por Turaev. Nuestro resultado principal consiste en la determinación de tal núcleo en el caso de una categoría de fusión trenzada débilmente de tipo grupo, según la definición de Etingof, Nikshych y Ostrik: más precisamente, demostramos que en este caso dicho núcleo es un producto de Deligne $\B \boxtimes \D$, donde $\D$ es una categoría trenzada punteada débilmente anisotrópica y $\B$ es trivial o bien equivalente a una categoría de Ising. Se tratará de mostrar algunas aplicaciones, entre ellas una caracterización de la resolubilidad de una categoría de fusión trenzada débilmente de tipo grupo en términos de sus subcategorías Tannakianas y un resultado sobre la estructura de las categorías modulares íntegras cuyos objectos simples tienen dimensión a lo sumo igual a 2.

Seminar of May 10th

10/05/2018, Room 27, FaMAF

On the structure of weakly group-theoretical braided fusion categories.

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Speaker: Sonia Natale

Abstract:
In this talk, we will review the definition of the core of a braided fusion category, introduced by Drinfeld, Gelaki, Nikshych and Ostrik, and its relation with G-crossed braided fusion categories, where G is a finite group, introduced by Turaev. Our main result is the determination of such core in the case of a weakly group-theoretical fusion category, according to the definition of Etingof, Nikshych and Ostrik: more precisely, we shall prove that in this case, the core is a Deligne product $\B \boxtimes \D$, where $\D$ is a pointed weakly anisotropic braided fusion category and $\B$ is either trivial or is equivalent to an Ising category. Some applications will be presented, such as a characterization of the solvability of a group-theoretical braided fusion category in terms of Tannakian subcategories, and a result about the structure of integral modular categories all of whose simple objects have Frobenius-Perron dimension at most 2.

Seminar of March 13rd (Friday!)

13/04/2018, room and schedule TBA, FaMAF

Quantum determinants in the FRT construction from Nichols algebras.

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Speaker: Marco Farinati

Abstract:
Given a braided vector space (V,c), the FRT construction provides a (coquasitriangular) bialgebra A=A(c) whose comodule category is braided and contains (V,c) naturally. In general A is a bialgebra but not a Hopf algebra. In this joint work with Gastón García (UNLP), we find sufficient hypothesis for giving a procedure that finds an element “D” of group type in A (necessarily normal), and an explicit formula for the antipode in A[D^{-1}]. These hypotheses are motivated by the properties of finite-dimensional Nichols algebras.

Seminario del viernes 13 de Abril

Viernes 13/04/2018, aula y horario TBA, FaMAF

Determinantes cuánticos en la construccion FRT a partir de álgebras de Nichols.

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Expositor: Marco Farinati (UBA)

Resumen: Dado un espacio vectorial trenzado (V,c), la construccion FRT provee una bialgebra (coquasitriangular) A=A(c) tal que su categoria de comodulos es trenzada y contiene naturalmente a (V,c). En general A es bialgebra pero no es Hopf.
En este trabajo, en colaboracion con Gaston García (UNLP), encontramos hipótesis suficientes para dar un procedimiento que encuentra un elemento de tipo grupo “D” en A (necesariamente normal) y una fórmula explícita de la antípoda en A[D^{-1}]. Estas hipotesis estan motivadas por las propiedades de las álgebras de Nichols de dimensión finita.

Seminar of April 26th

26/04/2018, 14.30 hs, aula 27 FaMAF

Lie subalgebras of the matrix quantum pseudo-differential operators

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Speaker: Karina Batistelli

Abstract:
In this talk, we will characterize the irreducible quasi-finite highest weight modules of some subalgebras of the Lie algebra of N×N matrix quantum pseudodifferential operators. In order to do this, we will first give a complete description of the anti-involutions that preserve the principal gradation of the algebra of N×N matrix quantum pseudodifferential operators and we will describe the Lie subalgebras of its minus fixed points. We will obtain, up to conjugation, two families of anti-involutions that show quite different results when n=N and n<N. We will then focus on the study of the “orthogonal” and “symplectic” type subalgebras found for case n=N, specifically the classification and realization of the quasi-finite highest weight modules.

Seminario 26 de abril

26/04/2018, 14.30 hs, aula 27 FaMAF

Subálgebras de Lie de los operadores pseudo-diferenciales matriciales cuánticos.

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Expositora: Karina Batistelli

Resumen: En esta charla caracterizaremos los módulos de peso máximo cuasifinitos de algunas de las subálgebras del álgebra de Lie de operadores matriciales pseudo-diferenciales cuánticos N×N . Para ello, daremos una descripción completa de las anti-involuciones que preservan la graduación principal del álgebra y describiremos las subálgebras de Lie de sus menos puntos fijos. Obtendremos, salvo conjugación, dos familias de anti-involuciones que dan lugar a resultados diferentes cuando n=N y n<N. Nos enfocaremos entonces en el estudio de las subálgebras de tipo “ortogonal” y “simpléctico” halladas para el caso n=N, puntualmente en la clasificación y realización de los módulos de peso máximo cuasifinitos.

Seminar of March 22nd

22/03/2018, 14.30 hs, aula 27 FaMAF

Restrictions of representations of Lie groups to reductive subgroups

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Speaker: Jorge Vargas

Abstract: We will present an overview of the subject and open problems. We will announce some results from the speaker obtained in collaboration with Michael Duflo or Bent Orsted.

Seminario del 22 de marzo

22/03/2018, 14.30 hs, aula 27 FaMAF

Restricciones de representaciones de grupos de Lie a subgrupos reductivos

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Expositor: Jorge Vargas

Resumen: Se presentara un panorama sobre el tema y problemas abiertos. Se enunciaran algunos resultados
del expositor obtenidos conjuntamente con Michael Duflo o Bent Orsted.

Prerequisitos: cuarto año de la licenciatura, quizas!!!

Jornada de doble seminario del 23 de noviembre

La jornada constará de dos seminarios, con el siguiente cronograma:

* 14.30-15.30: Seminario de Giovana Carnovale,

* 15.30-16.00: Café en la Sala de Matemática,

* 16.00-17.00: Seminario de Iván Darío Gomez

Más información sobre cada charla a continuación.

23/11/2017, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

The Jordan stratification in Lie algebras and algebraic groups

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Expositor: Giovana Carnovale

Resumen: Semisimple Lie algebras and algebraic groups can be stratified in terms of so-called Jordan classes or decomposition classes. In the Lie algebra case they were introduced in Borho and Kraft’s work on sheets whereas the group analogue appeared in Lusztig’s construction of generalised Springer’s correspondence. Roughly speaking, Jordan classes are unions of adjoint orbits (or conjugacy classes) that are isomorphic as homogeneous space. We are interested in their geometry and in the geometry of the induced stratifications on the geometric quotients of the Lie algebra and of the group. We will show how some of these problems can be interpreted in terms of hyperplane arrangements.
It is based on a joint project with Francesco Esposito.

 

23/11/2017, 16:00 hs, aula 27 FaMAF

Estructura del producto tensorial de los sl(2)⋉ V(m)​​ -módulos uniseriales

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Expositor: Iván Darío Gomez

Resumen:  Sea ℊ​​ un álgebra de Lie sobre ℂ​​, el sócalo de un ℊ-módulo V​​ es el único ℊ​​-submódulo maximal semisimple de V y se denota por soc​​(V). A V se le denomina uniserial si la serie del sócalo es una serie de composición, es decir,


soc0(V)⊂ soc1(V)⊂ \hdots ⊂ socn(V)=V​​


es una serie de composición donde soci(V)/soci-1(V)=soc(V/soci-1(V))  para 1≤ i≤ n.


En [C-S] se obtiene la clasificación de los ℊ​​-módulos uniseriales cuando la descomposición de Levi de ℊ​​ es sl(2)⋉ V(m) ​ para m≥ 1​​, donde V(m)​​ es un sl(2)​​-módulo irreducible de peso máximo m​​.
Tales módulos uniseriales son los Z(a,l)​​ (salvo algunos caso especiales) los cuales vistos como sl(2)​​-módulos son Z(a,l)=⨁i=0l V(a+im)​​  y sus respectivos duales Z(a,l)*​​ con a,l ∈ ℕ∪ {0}​​.


En la primera parte de esta charla se hablará sobre el sócalo del producto tensorial de sl(2)⋉ V(m)​​ -módulos uniseriales, el cual nos permite construir nuevos módulos y demostrar con m​​​​ impar que Z(0,1)⊗ Z(b,1)​​​​ es indescomponible si b≠ 0​​​​.


Recordamos que un ℊ​​​​-módulo V​​​​ es cíclico si V=U(ℊ)v​​ para algún v∈ V​​​​ y donde U(ℊ)v​​​ es la envolvente universal de ℊ​​​​. En la segunda parte de la charla, se mostrará que ciertos productos tensoriales de sl(2)⋉ V(m)​​​​-módulos uniseriales son módulos cíclicos.


Bibliografía:
[Ca] P. Casati, The classification of the perfect cyclic sl(n+1)⋉ ℂn+1, Journal of Algebra 476 (2017) 311-343.


[C-S] L. Cagliero and F. Szechtman, The classification of uniserial sl(2)⋉ V(m)-modules and a new interpretation of the Racah-Wigner 6j-symbol, J. of Algebra, Volume 386 (2013), 142-175.


[Pi] A. Piard, Sur des représentations indécomposables de dimension finie de \matfrak{SL}(2).R2​​, Journal of Geometry and Physics, Volume 3, Issue 1, 1986, 1–53.