Ago 29

Seminario del 1 de septiembre de 2016

01/09/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Una introducción a los Operadores Diferenciales sobre módulos

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Expositor: Lic. Fredy Restrepo.

Resumen: En la actualidad existen diferentes programas de investigación que buscan formalizar algebráicamente las ecuaciones en derivadas parciales para obtener así una teoría general. Respondiendo a dichas necesidades, queremos exponer brevemente los conceptos básicos que componen uno de estos programas, liderado por el Dr. I.S. Krasil´shchik. Para ello, tomamos como fuentes de estudio las notas del curso de verano dictado por él, en el marco del -“First Italian Diffiety School (Forino-Italia- 1998)”.
Iniciaremos la exposición definiendo los operadores diferenciales \(Diff(-,-)\) lineales sobre \(A\)-módulos como un bifunctor junto con los functores de multiderivaciones \(Der_k(-)\), con \(k\) un entero no negativo. Luego, hablaremos de las condiciones de cadena de complejos que dan pie a la \(Diff\)-cohomología de Spenser y mostraremos algunas relaciones con el complejo de De-Rham. Posteriormente, veremos que los functores \(Diff_k(P,-)\) y \(Diff_k(-,Q)\) admite una representación para cada entero no negativo \(k\), vía los \(Jet\)-módulos, con los cuales se obtiene un objeto que goza de la generalidad de los \(R\)-módulos y a su vez, brinda un formalismo algebraico tal que la categoría de fibrados vectoriales sea el ejemplo distinguido. El estudio de estos objetos se conoce en la actualidad como la teoría de \(Jet\)-Bundles.
Finalmente, tendremos una herramienta epistemológica que nos permita entender la Teoría Algebraica de Operadores Diferenciales, como la acción de identificar una subcategoria abeliana \(D(R)\) de \(R\)-módulos tal que:
1) \(D(R)\) es cerrada bajo el producto tensorial de \(R\)-módulos.
2) \(D(R)\) es cerrada bajo la acción de los functores \(Diff(-,-)\) y \(Der(-)\).
3) Los functores \(Diff(P.-)\) y \(Diff(-,Q)\) admiten una representación en \(D(R)\), para cualquier par de objetos \(P,Q\) en \(D(R)\).

 

Ago 15

Seminario del 18 de agosto de 2016

18/08/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Teoría de Galois para extensiones puramente inseparables

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Expositor: Dr. Diego Sulca.

Resumen: En característica \(p>0\), si \(L/K\) es una extensión puramente inseparable de cuerpos, su grupo de Galois es trivial, y por lo tanto no es posible usar la teoría de Galois para describir las subextensiones intermedias. Para remediar esto, en el caso que el exponente de la extensión sea \(1\), se usa el álgebra de Lie de las \(K\)-derivaciones de \(L\) como sustituto del grupo de Galois. En el caso de exponente mayor que \(1\), es necesario introducir las derivaciones de orden superior, también llamadas derivaciones de Hasse-Schmidt. En este caso solo pueden describirse las llamadas subextensiones modulares.
En este seminario exponemos sobre este tema principalmente en base a los trabajos de Jacobson y Sweedler :
– N. Jacobson, Galois theory of purely inseparable fields of exponent one, Amer. J. Math. 66 (1944), 645-648.
– M. E. Sweedler, Structure of inseparable extensions, Ann. of Math. (2) 87 (1968), 401-410.

Jul 29

Seminario del 3 de agosto de 2016

03/08/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Órdenes de Hopf y la sexta conjetura de Kaplansky

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Expositor: Juan Cuadra (Universidad de Almería, Dpto. Matemáticas).

Resumen: Un conocido resultado de Frobenius afirma que la dimensión de toda representación compleja e irreducible de un grupo finito \(G\) divide al orden de \(G\). Todas las demostraciones se basan en que el álgebra de grupo \(\mathbb{C} G\) está definida sobre \(\mathbb{Z}\) como álgebra de Hopf; en otros términos, en que \(\mathbb{Z} G\) es un orden de Hopf de  \(\mathbb{C} G\).
La sexta conjetura de Kaplansky predice que este resultado es válido para álgebras de Hopf complejas y semisimples. Como en el caso de grupos, Larson probó en 1972 que la conjetura sería cierta si tales álgebras admitiesen un orden de Hopf sobre un anillo de números. Desde entonces, la pregunta de si un álgebra de Hopf compleja y semisimple admite un orden de Hopf sobre un anillo de números ha estado subyacente bajo esta conjetura.
En esta charla responderemos negativamente a esta cuestión usando una familia de ejemplos, construida por Galindo y Natale, que son torcimientos de Drinfeld de ciertas álgebras de grupo. El torcimiento contiene una fracción escalar que hace imposible su definición sobre un anillo de números. Los resultados que mostraremos forman parte de un trabajo conjunto con Ehud Meir (Universidad de Hamburgo) publicado en Trans. Amer. Math. Soc. y disponible en arXiv:1307.3269.

Jul 08

Seminario del 21 de julio de 2016

21/07/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

No Quantum Symmetry

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Expositora: Chelsea Walton (Temple University, USA).

Resumen: I will discuss recent work on the lack of finite dimensional Hopf actions on (quantizations of) commutative domains. This includes results on Hopf actions on Weyl algebras, universal enveloping algebras of finite dimensional Lie algebras, spherical symplectic reflection algebras, quantumpolynomial algebras, twisted homogeneous coordinate rings of abelian varieties, and Sklyanin algebras.

The starting point for these results was joint work with P. Etingof on semisimple Hopf actions on commutative domains (arXiv:1301.4161), and continued in joint work with J. Cuadra and P. Etingof on finite dimensional Hopf actions on Weyl algebras (arxiv:1409.1644, arXiv:1509.01165) and with P. Etingof on such actions on deformation quantizations (arXiv:1602.00532) and on algebraic quantizations (arXiv:1605:00560).

Jun 13

Seminario del 16 de junio de 2016

16/06/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Subálgebras de Lie del álgebra de Lie de operadores matriciales pseudo-diferenciales cuánticos.

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Expositora: Lic. Karina Batistelli (FaMAF).

Resumen: Las álgebras W-infinitas surgen naturalmente en varias teorías físicas, como la teoría de campos conformes, la teoría del efecto cuántico de Hall, etc. El álgebra \(\hat{D}\) (también denotado como \(W_{1+\infty}\) en literatura física), que es la extensión central del álgebra de Lie \(D\), de operadores diferenciales en el círculo, es la más importante entre esas álgebras.
El estudio de la teoría de representaciones del álgebra de Lie \(\hat{D}\) llevó por analogía al estudio de la teoría de representaciones del álgebra de Lie de operadores pseudo-diferenciales cuánticos \(S_q\), cuya extensión central \(\widehat{S_q}\) es el \(q\)-análogo del álgebra de Lie \(\hat{D}\). Esto llevó a la clasificación de los módulos irreducibles quasifinitos de peso máximo de esta álgebra y de sus subálgebras ([KR],[ KWY]). Posteriormente también se desarrollo el estudio de la teoría de representaciones de la versión matricial del álgebra \(\hat{D}\) y sus subálgebras (cf. [KR], [BKLY], [BL]).
En esta charla daremos una descripción completa de las anti-involuciones del álgebra \(S_q^N\), de operadores matriciales NxN pseudo-diferenciales cuánticos que preservan la Z-graduación principal y describiremos las subálgebras de Lie \(S_q^N\) fijas por dichas anti-involuciones. La finalidad será describir los módulos irreducibles cuasifinitos de peso máximo sobre estas subálgebras de Lie de \(S_q^N\).

[KR]  V. G. Kac  and A. Radul, Quasifinite highest weight modules  over the Lie algebra of differential operators on the circle, Comm. Math. Phys. 157 (1993), 429–457.

[KWY] V. G. Kac, W. Wang and C. Yan,  Quasifinite representations of classical Lie subalgebras of \(W_{1+\infty}\). Adv. Math. 139 (1998),  56–140.

[BKLY] C. Boyallian, V. Kac, J. Liberati and C. Yan, Quasifinite highest weight modules  over the Lie algebra of matrix differential operators on the circle, Journal of Math. Phys. 39 (1998), 2910–2928.

[BL] C. Boyallian and J. Liberati Classical Lie subalgebras of the Lie algebra of matrix differential operators on the circle,  Journal of Math. Phys. 42 (2001), 3735-3753.

May 30

Seminario del 2 de junio de 2016

02/06/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Rigidez de morfismos y de subálgebras de Lie.

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Expositor: Lic. Augusto Chaves (FaMAF).

Resumen: Sea \(\mathfrak{g}\) un álgebra de Lie de dimensión finita y \(G\) el grupo de Lie simplemente conexo que integra a \(\mathfrak{g}\). Consideremos los siguientes problemas:

  1. Dado un morfismo de álgebras de Lie \(r:\mathfrak{h}\rightarrow\mathfrak{g}\) ¿cuándo es cierto que todo morfismo de álgebras de Lie \(r’:\mathfrak{h}\rightarrow\mathfrak{g}\) “suficientemente cerca” de \(r\) es de la forma \(r’ =Ad_{g}\circ r\) para algún \(g\in G\) cerca de la identidad?
  2. Dada una subálgebra de Lie \(\mathfrak{h}\) de \(\mathfrak{g}\) ¿cuándo es cierto que toda subálgebra de Lie \(\mathfrak{h}’\) de \(\mathfrak{g}\) “suficientemente cerca” de \(\mathfrak{h}\) es de la forma \(\mathfrak{h}’= Ad_{g}(\mathfrak{h})\) para algún \(g\in G\) cerca de la identidad?

Los morfismos \(r\) y subálgebras de Lie \(\mathfrak{h}\) que cumplen las condiciones de los problemas 1 y 2 respectivamente son llamados rígidos. El seminario está orientado a mostrar una solución parcial a ambos problemas.

May 13

Seminario homenaje al Dr. Jorge Vargas

El seminario del próximo jueves 19 de mayo será un encuentro especial para homenajear al Dr. Jorge Vargas.

– 14:30 hs, aula 27: Semblanza en honor al Dr. Jorge Vargas.

– 14:45 hs, aula 27: “Representaciones de cuadrado integrable de grupos de Lie reductivos con restricción a \(SL(2,\mathbb{R})\) admisible”, Dra. Esther Galina.

– 15:45 hs, sala de matemática: Café y tortas.

– 21 hs: Cena-Baile.

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Título: Representaciones de cuadrado integrable de grupos de Lie reductivos con restricción a \(SL(2,\mathbb{R})\) admisible.

Expositora: Dra. Esther Galina (FaMAF).

Resumen: La restricción de representaciones de grupos de Lie a subgrupos es un problema en general difícil de abordar. En esta charla se presentará un trabajo reciente realizado conjuntamente con Michel Duflo y Jorge Vargas donde se considera la restricción de representaciones de cuadrado integrable unitarias irreducibles de un grupo real reductivo \(G\) a un subgrupo \(H\) localmente isomorfo a \(SL(2,\mathbb{R})\). En particular, se consideran las representaciones que admiten una restricción \(H\)-admisible. Se prueba que estas representaciones son holomorfas y para cada \(G\) se determina el \(H\), esencialmente único con esta propiedad, así como una fórmula de multiplicidades de las representaciones irreducibles de \(H\) que ocurren en la descomposición de la restricción de la representación original de \(G\).

Abr 28

Seminario de Lie del 5 de mayo de 2016

05/05/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Fórmula de multiplicidad para ciertas representaciones de \(SO(2n)\).

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Expositor: Dr. Emilio Lauret (FaMAF).

Resumen: En este charla presentaremos una fórmula explícita de la multiplicidad de un peso arbitrario para ciertas representaciones irreducibles de \(SO(2n)\). Tales representaciones son las que aparecen en la descomposición en irreducibles, del producto tensorial entre el álgebra simétrica con el álgebra exterior de la representación estándar.
Si el tiempo lo permite, repasaremos la aplicación de tal fórmula a la descripción explícita del espectro de un espacio lente. Probaremos que la serie de Poincaré asociada a cada espectro se escribe como una función racional.

Abr 18

Próximo seminario 21/04/2016

21/04/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Rigidez Cohomológica de álgebras de Lie.

f4

Expositor: Lic. Augusto Chaves (FaMAF).

Resumen: El conjunto de las álgebras de Lie (resp: álgebras de Lie nilpotentes) en una dimensión finita fija, es identificable con una variedad afín \(L_n\) (resp: \(N_{n,k}\)). En estas variedades aparecen los conceptos de degeneración y rigidez de álgebras de Lie. Este seminario está dedicado a discutir los distintos conceptos de rigidez, principalmente el cohomológico, que ocurren en estas variedades, las principales relaciones entre ellos, algunos teoremas y ejemplos.

Abr 03

Próximo seminario 07/04/2016

07/04/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Órbitas nilpotentes, clasificaciones y algunas aplicaciones.

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Expositor: Dra. Esther Galina (FaMAF).

Resumen: Se presentarán los distintos tipos de clasificaciones de órbitas nilpotentes en álgebras de Lie complejas y reales, diagramas asociados y una generalización en álgebras de Kac-Moody afines.
Asimismo, se expondrán algunos resultados y aplicaciones recientes.

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