Commutator theory for rack and quandles

Marco Bonatto (IMAS – CONICET)

Jueves 23 de mayo 14.30hs. Aula 27

Quandles are idempotent lef-distributive left-quasigroups and they arise in different areas of mathematics as knot theory, the study of solutions of the set theoretic Yang-Baxter equation, braiding vector spaces and Nichols algebras.

Group and module theory has been used to investigate quandles exploiting the strong interplay between the properties of a quandle Q and the group-theoretical properties of its displacement group.

In a recent paper we adapt commutator theory for general algebras (in the sense of Freese, McKenzie [FM87]) to the setting of quandles [BS19]. We proved that properties as abelianness and centrality of congruences are completely characterized by the properties of the displacement group and its subgroups. Moreover there exists a Galois connection between the congruence lattice of a quandle and a sublattice of the normal subgroups of the displacement group, which can be exploited to get information on the displacement group from its congruence lattice and vice versa. These techniques are particularly useful for connected quandles, which admits a representation over their displacement groups. Some new results based on this theory are the classification of connected quandles of size p 3 [BB19] and of size pq and 4p (in preparation) where p and q are primes and the characterization of doubly homogenous quandles [Bon19].

References
[BB19] Giuliano Bianco and Marco Bonatto, On connected quandles of prime power order, arXiv e-prints (2019), arXiv:1904.12801.
[Bon19] Marco Bonatto, Principal and doubly homogeneous quandles, arXiv e-prints (2019), arXiv:1904.13388.
[BS19] Marco Bonatto and David Stanovský, Commutator theory for racks and quandles, arXiv e-prints (2019), arXiv:1902.08980.
[FM87] Ralph Freese and Ralph McKenzie, Commutator theory for congruence modular varieties, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 125, Cambridge University Press, Cambridge, 1987. MR 909290

Funciones Esféricas en grupos finitos

Carmen Luz Blanco (FaMAF – CIEM)

Jueves 16 de mayo 14.30hs. Aula 27

Sean G un grupo finito y K un subgrupo, sea \pi una representación irreducible de K. En esta charla se establecerá el concepto de función esférica de G de tipo \pi, las principales propiedades de éstas y dos caracterizaciones útiles.

La primera de estas caracterizaciones relaciona las funciones esféricas irreducibles de G de tipo \pi con las representaciones irreducibles de G en las que aparece \pi.

Para la segunda caracterización consideramos A[G] el álgebra grupo de G y la sub-álgebra A[G]^K de K- puntos fijos por conjugación. Se caracterizan a las funciones esféricas irreducibles de G de tipo \pi con las auto-funciones de un determinado operador en diferencias definido en A[G]^K.

Álgebras de Nichols en característica positiva

Iván Angiono (FaMAF -CIEM)

Jueves 2 de mayo 14.30hs. Aula 27

En esta charla presentaremos ejemplos de álgebras de Nichols de dimensión finta sobre cuerpos de característica positiva, que se realizan sobre grupos abelianos. Estos ejemplos se corresponden con álgebras de Nichols de dimensión de Gelfand-Kirillov finita en característica cero y sus trenzas involucran bloques de Jordan y Super-Jordan.

Representaciones de categorías tensoriales graduadas

Martín Mombelli (FaMAF -CIEM)

Jueves 11 de abril 14.30hs. Aula 27

Dado un grupo finito G y una categoría tensorial G-graduada D, se mostrará como se clasifican las representaciones sobre D. Mostraremos como este resultado se aplica a las categorías de fusión punteadas y algunas aplicaciones. La charla está basada en un trabajo en conjunto con A. Mejía Castaño.

Problemas de cohomología de álgebras de Nichols

Nicolás Andruskiewitsch (FaMAF-CIEM)

Jueves 28 de marzo, 14.30hs. Aula 27

Se presentará y discutirá una lista de problemas abiertos sobre cohomología de álgebras de Nichols de dimensión finita.

From groupoid cardinality to Drinfeld doubles

Christoph Schweigert

Viernes 15 de Marzo, 16hs. Aula 13.

We explain how to «count» the number of G-covers on a compact manifold, where G is a finite group. This yields in particular a simple invariant of three-manifolds. We show how to extract from this invariant (and its associated three-dimensional topological field theory) many important notions of modern algebra, in particular the Drinfeld double of the group and module categories over the group ring of G.

Seminar of November 22nd

 22/11/2018, Room 27, 2:30 pm, FAMAF

Time-Band-Limiting for matrix-valued functionsf4

Speaker: Ignacio Zurrián

Abstract: 

El tema de la limitación de time-band-limiting, que se origina en el procesamiento de señales, está dominado por el «milagro» de que un operador integral que aparece naturalmente admite un conmutante diferencial que permite una manera numéricamente eficiente de calcular sus funciones propias. La bispectralidad es un esfuerzo por profundizar en las razones detrás de este milagro. Esta búsqueda ha revelado conexiones inesperadas con varias partes de las matemáticas. En esta charla, consideraremos una versión de bispectralidad con valor matricial y tendremos una condición general en la cual podemos mostrar una manera constructiva y simple de obtener el operador diferencial conmutante. Además, construiremos un operador que conmute tanto con el operador de time-limiting como con el operador de band-limiting.

 

 

 

 

 

Seminario del 22 de noviembre

 22/11/2018, Aula 27, 14:30 hs FAMAF

Time-Band-Limiting para funciones matriciales.f4

Expositor: Ignacio Zurrián

Resumen: 

El tema de la limitación de time-band-limiting, que se origina en el procesamiento de señales, está dominado por el «milagro» de que un operador integral que aparece naturalmente admite un conmutante diferencial que permite una manera numéricamente eficiente de calcular sus funciones propias. La bispectralidad es un esfuerzo por profundizar en las razones detrás de este milagro. Esta búsqueda ha revelado conexiones inesperadas con varias partes de las matemáticas. En esta charla, consideraremos una versión de bispectralidad con valor matricial y tendremos una condición general en la cual podemos mostrar una manera constructiva y simple de obtener el operador diferencial conmutante. Además, construiremos un operador que conmute tanto con el operador de time-limiting como con el operador de band-limiting.

 

 

 

 

Seminar of November 8th

 8/11/2018, Room 27, 2:30 pm, FAMAF

The adjoint algebra for tensor categories. f4

Speaker: Noelia Belén Bortolussi

Abstract: 

Representation theory and category theory are useful tools for the study of groups and Hopf algebras. In this talk, we shall introduce the background to understand the notion of characters in the context of tensor categories. This concept was introduced by K. Shimizu, who also extended many related notions and properties about classical characters to this categorical context, such as the orthogonality relations, the relation with conjugacy classes, etc.
Notice that a character of a finite group \( G\) can be viewed as a morphism of G-modules \(\chi: kG \to k\), where\(kG\) is equipped with the adjoint action. So the first step in the definition of characters for tensor categories is the generalization of the notion of adjoint algebra for arbitrary (finite) tensor categories.  This generalization plays a fundamental roll in the theory of  Lyubashenko on the action of the modular group on no-semisimple tensor categories. In order to introduce the adjoint algebra, we will first introduce the concepts of (co)monads and of (co)ends in categories.

 

 

 

 

 

Seminario del 8 de noviembre

 8/11/2018, Aula 27, 14:30 hs FAMAF

El álgebra adjunta para categorías tensorialesf4

Expositor: Noelia Belén Bortolussi

Resumen: 

La teoría de representaciones y la teoría de categorías son fuertes herramientas en el estudio de los grupos y las álgebras de Hopf. En esta charla explicaremos las herramientas necesarias para entender la noción del álgebra de caracteres en el contexto de categorías tensoriales. Esta noción fue introducida por K. Shimizu, quien demostró generalizaciones de la ortogonalidad de caracteres, clases de conjugación, entre otros resultados de la teoría de caracteres de grupos al ámbito de categorías de fusión.
Un carácter para un grupo finito \(G\) puede verse como un morfismo de G-módulos \(\chi: kG \to k\), donde a \(kG\) se lo equipa con la acción adjunta. El primer paso para entender el álgebra de caracteres será explicar como generalizar la noción del álgebra adjunta en una categoría tensorial finita arbitraria. Esta generalización juega un rol fundamental en la teoría de Lyubashenko de la acción del grupo modular en categorías tensoriales no semisimples. Para introducir el álgebra adjunta, presentaremos las nociones de (co)mónadas y (co)ends en categorías