Henry J. Tucker (University of California, Riverside, Estados Unidos)

Jueves 8 de agosto 14.30hs. Aula 27.

Near-group fusion categories are those with only one non-invertible object. Non-commutative near-group fusion categories (those with non-abelian group of invertible objects) were completely classified by Izumi using an operator algebraic method (and hence under the assumption of unitarity). They were shown to be group theoretical, i.e. categorically Morita equivalent to pointed fusion categories, though the corresponding pointed categories were not identified. We now give purely algebraic construction of the noncommutative near-group categories starting from pointed fusion categories. This work is joint with Izumi.

Giovanna Carnovale (Universidad de Padova, Italia)

Jueves 4 de julio 14.30hs. Aula 27.

joint work with Mauro Costantini, part of a long-term project with Nicolás Andruskiewitsch and Gastón Garcia.

Andruskiewitsch and Graña have shown that Nichols algebras can be constructed starting from a rack X and a 2-cocycle on X. Several conditions (type C, D or F) on a rack X have been proved to ensure that the associated Nichols algebras are infinite-dimensional for any choice of the cocycle. Since this criteria are well-behaved with respect to projections and inclusions, it is of great interest to understand which simple racks satisfy one of these conditions. Among simple racks we have the family of conjugacy classes in a non-ablelian finite simple group with rack structure x>y=xyx^{-1}. In this case  these conditions are easily stated in group theoretic terms. Suzuki and Ree  groups form three families of simple groups of Lie type, associated with root systems of type B2, F4 and G2 and a Coxeter graph automorphism. After recalling the state of the art concerning the other families of finite simple groups, we will discuss the problem of listing which classes are of type C, D, or F in  Suzuki and Ree groups and the related question of the existence of finite-dimensional pointed Hopf algebras whose group of grouplikes is one of them.

Grupo de Trabajo

Martes 2 de Julio 15hs. Aula 11.

Vamos a comenzar la lectura y estudio del artículo arXiv:1904.09325 [math.AT] «Shuffle algebras and perverse sheaves», de Mikhail Kapranov y Vadim Schechtman.

Marco Farinati (UBA – CONICET)

Viernes 14 de junio 14.30hs. Aula 27.

Utilizando categorías (estables de) de representaciones de álgebras de Hopf de dimensión finita, Khovanov encontró ejemplos de categorías trianguladas tensoriales. En particular, para cada N natural, se obtiene fácilmente una categoría cuyo K_0 es el anillo Z[t]/(1+t+…+t^{N-1}). Notar que si N=p es primo, este anillo es el anillo de enteros ciclotómicos Z[\xi_p]. La hipótesis central en el trabajo de Khovanov es que el álgebra de Hopf H sea un álgebra de Frobenius, lo que fuerza a que H sea de dimensión finita.
En esta charla mostraremos cómo modificar estas ideas para que se pueda describir al álgebra homológica clásica, que necesita de comódulos sobre un álgebra en particular que es de dimensión infinita. Más aún, la construcción tiene sentido para álgebras de Hopf co-Frobenius, y el funtor que corresponde a tomar (co)homología tiene una traducción natural en lenguaje Hopf-co-Frobenius. En cuanto al K_0 de la categoría estable, este se puede describir como un cociente del K_0 del coradical. Esta descripción calcula completamente el K_0 para el caso H = k[G]# B, el  producto cruzado de un álgebra de Nichols de dimensión finita por un álgebra de grupo arbitrario.

Marco Bonatto (IMAS – CONICET)

Jueves 23 de mayo 14.30hs. Aula 27

Quandles are idempotent lef-distributive left-quasigroups and they arise in different areas of mathematics as knot theory, the study of solutions of the set theoretic Yang-Baxter equation, braiding vector spaces and Nichols algebras.

Group and module theory has been used to investigate quandles exploiting the strong interplay between the properties of a quandle Q and the group-theoretical properties of its displacement group.

In a recent paper we adapt commutator theory for general algebras (in the sense of Freese, McKenzie [FM87]) to the setting of quandles [BS19]. We proved that properties as abelianness and centrality of congruences are completely characterized by the properties of the displacement group and its subgroups. Moreover there exists a Galois connection between the congruence lattice of a quandle and a sublattice of the normal subgroups of the displacement group, which can be exploited to get information on the displacement group from its congruence lattice and vice versa. These techniques are particularly useful for connected quandles, which admits a representation over their displacement groups. Some new results based on this theory are the classification of connected quandles of size p 3 [BB19] and of size pq and 4p (in preparation) where p and q are primes and the characterization of doubly homogenous quandles [Bon19].

References
[BB19] Giuliano Bianco and Marco Bonatto, On connected quandles of prime power order, arXiv e-prints (2019), arXiv:1904.12801.
[Bon19] Marco Bonatto, Principal and doubly homogeneous quandles, arXiv e-prints (2019), arXiv:1904.13388.
[BS19] Marco Bonatto and David Stanovský, Commutator theory for racks and quandles, arXiv e-prints (2019), arXiv:1902.08980.
[FM87] Ralph Freese and Ralph McKenzie, Commutator theory for congruence modular varieties, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 125, Cambridge University Press, Cambridge, 1987. MR 909290

Carmen Luz Blanco (FaMAF – CIEM)

Jueves 16 de mayo 14.30hs. Aula 27

Sean G un grupo finito y K un subgrupo, sea \pi una representación irreducible de K. En esta charla se establecerá el concepto de función esférica de G de tipo \pi, las principales propiedades de éstas y dos caracterizaciones útiles.

La primera de estas caracterizaciones relaciona las funciones esféricas irreducibles de G de tipo \pi con las representaciones irreducibles de G en las que aparece \pi.

Para la segunda caracterización consideramos A[G] el álgebra grupo de G y la sub-álgebra A[G]^K de K- puntos fijos por conjugación. Se caracterizan a las funciones esféricas irreducibles de G de tipo \pi con las auto-funciones de un determinado operador en diferencias definido en A[G]^K.

Iván Angiono (FaMAF -CIEM)

Jueves 2 de mayo 14.30hs. Aula 27

En esta charla presentaremos ejemplos de álgebras de Nichols de dimensión finta sobre cuerpos de característica positiva, que se realizan sobre grupos abelianos. Estos ejemplos se corresponden con álgebras de Nichols de dimensión de Gelfand-Kirillov finita en característica cero y sus trenzas involucran bloques de Jordan y Super-Jordan.

Martín Mombelli (FaMAF -CIEM)

Jueves 11 de abril 14.30hs. Aula 27

Dado un grupo finito G y una categoría tensorial G-graduada D, se mostrará como se clasifican las representaciones sobre D. Mostraremos como este resultado se aplica a las categorías de fusión punteadas y algunas aplicaciones. La charla está basada en un trabajo en conjunto con A. Mejía Castaño.

Nicolás Andruskiewitsch (FaMAF-CIEM)

Jueves 28 de marzo, 14.30hs. Aula 27

Se presentará y discutirá una lista de problemas abiertos sobre cohomología de álgebras de Nichols de dimensión finita.