Seminario del Viernes 22 de Junio

 22/6/2018, Aula 11, 11:00 hs FaMAF

Haces perversos en el lenguaje de categorías diagramáticas.

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Expositor: Cristian Vay

Resumen:

Importantes resultados de la teoría de representaciones de álgebras y grupos de Lie se han demostrado inicialmente usando Geometría. La interpretación geométrica se da a través de la categoría de Haces Perversos sobre una variedad de bandera. Luego se suscitaron las pruebas algebraicas con la aparición de los Bimódulos de Soergel y, más generalmente, con las Categorías Diagramáticas de Elias-Williamson.
El contexto geométrico es muy rico en herramientas e intuición y uno quisiera tener algo de esto en el contexto de las Categorías Diagramáticas. En un reciente trabajo junto a P. Achar y S. Riche [https://arxiv.org/abs/1802.07651], explicamos como reintroducir los haces perversos en el contexto diagramático.
En este seminario repasaremos la definición de las Categorías Diagramáticas, definiremos los Haces Perveros en este contexto y probaremos que satisfacen muchas de las propiedades de su contraparte geométrica, que son a su vez propiedades de la categoría de representaciones $\mathcal{O}$ de un álgebra de Lie semisimple

 

 

Seminar of June 6th

7/6/2018, Room 27, 2:30 pm, FaMAF

From Hopf Algebras to tensor categories

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Speaker: Héctor Peña Pollastri

Abstract:
This talk follows the exposition given in [1]. We’ll show a systematic way to construct tensor categories from categories of representations of certain Hopf Algebras taking the quotient by objects of zero quantum-trace (a process which was introduced in [2]).
In particular, we’ll require the Hopf algebra to be spherical, notion which we’ll explain and also show some conditions that guarantee that a given Hopf algebra is of this type. After this, we’ll discuss how to obtain fusion subcategories from the tensor categories constructed before, in particular, we’ll explain the method of Tilting modules for quasi hereditary Algebras [3]. Finally, we’ll discuss the special case of quantum groups with q a foot of unity, where the Tilting modules are obtained using good filtrations and Weyl filtrations.

References:
[1] “From Hopf Algebras to Tensor Categories”. N. Andruskiewitch, I. Angiono, A. García Iglesias, B. Torrecillas and C. Vay. From ‘Conformal Field Theories and Tensor Categories’, Mathematical lectures from Peking University, DOI 10.10007/978-3-642-39383-9. Springer- Velag Berlin Heindelberg 2014.
[2] ”Spherical Categories” John W. Barrett and Bruce W. Westbury. Advances in Mathematics, Volume 143, Number 2, 1999. Pág 357.
[3] “The category of modules with good filtrations over quasi-hereditary algebra has almost split sequences” C.M. Ringel. Mathematische Zeitschrift Band 208, Heft 2, 1991. Pág 209.
[4] “Tensor Products of Quantized Tilting Modules” H.H. Andersen. Comm. In Mathematical Physics, Volume 149, Number 1, 1992. Pág 149.
[5] “From Quantum Groups to Unitary Modular Tensor Categories”. Eric C. Rowell. Contemporary Mathematics 2005 (arXiv:math/0503226).

Seminario del 7 de junio

 7/6/2018, Aula 27, 14:30 hs FaMAF

Desde las álgebras de Hopf hacia las categorías tensoriales.

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Expositor: Héctor Peña Pollastri

Resumen:
Esta charla sigue detenidamente la exposición del tema dada en [1]. Se mostrará una forma sistemática de construir categorías tensoriales a partir de las categorias de representaciones de ciertas álgebras de Hopf pasando al cociente por objetos de traza cuántica cero (proceso que fue descripto en [2]). En partícular necesitaremos que la álgebra de Hopf seá esférica, noción que se definirá y se mostraran algunas condiciones que garantizan que el álgebra de Hopf sea de este tipo. Luego estudiaremos como obtener subcategorías de fusión de estas algebras tensoriales fabricadas, en partícular se expondrá el método vía módulos de Tilting para álgebras cuasi-hereditarias [3]. Finalmente se discutirá el caso especial de grupos cuánticos con q raíz de la unidad, donde los módulos de Tilting se obtienen mediante filtraciones buenas y filtraciones de Weyl (Ver [4] y [5]).

Referencias:
[1] “From Hopf Algebras to Tensor Categories”. N. Andruskiewitch, I. Angiono, A. García Iglesias, B. Torrecillas and C. Vay. From ‘Conformal Field Theories and Tensor Categories’, Mathematical lectures from Peking University, DOI 10.10007/978-3-642-39383-9. Springer- Velag Berlin Heindelberg 2014.
[2] ”Spherical Categories” John W. Barrett and Bruce W. Westbury. Advances in Mathematics, Volume 143, Number 2, 1999. Pág 357.
[3] “The category of modules with good filtrations over quasi-hereditary algebra has almost split sequences” C.M. Ringel. Mathematische Zeitschrift Band 208, Heft 2, 1991. Pág 209.
[4] “Tensor Products of Quantized Tilting Modules” H.H. Andersen. Comm. In Mathematical Physics, Volume 149, Number 1, 1992. Pág 149.
[5] “From Quantum Groups to Unitary Modular Tensor Categories”. Eric C. Rowell. Contemporary Mathematics 2005 (arXiv:math/0503226).

Seminar of May 24th

24/05/2018, Room 27, 2:30 pm, FaMAF

Introduction to Representation Theory of Quantum Algebras

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Speaker: Henrique Teixeira Tyrrell Tavares (Radboud University)

Abstract:
Abstract: We shall investigate highest weight modules one of the main family of representations of quantum algebras and their properties. We will also mention its relation to finite-dimensional representations and some generalizations.

Seminario del 10 de Mayo

 10/5/2018, Aula 27, FaMAF

Sobre la estructura de las categorías de fusión trenzadas débilmente de tipo grupo.

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Expositor: Sonia Natale

Resumen:
En esta charla se recordará la definición de núcleo de una categoría de fusión trenzada, introducida por Drinfeld, Gelaki, Nikshych y Ostrik, y su relación con las categorías de fusión trenzadas G-cruzadas, donde G es un grupo finito, introducidas por Turaev. Nuestro resultado principal consiste en la determinación de tal núcleo en el caso de una categoría de fusión trenzada débilmente de tipo grupo, según la definición de Etingof, Nikshych y Ostrik: más precisamente, demostramos que en este caso dicho núcleo es un producto de Deligne $\B \boxtimes \D$, donde $\D$ es una categoría trenzada punteada débilmente anisotrópica y $\B$ es trivial o bien equivalente a una categoría de Ising. Se tratará de mostrar algunas aplicaciones, entre ellas una caracterización de la resolubilidad de una categoría de fusión trenzada débilmente de tipo grupo en términos de sus subcategorías Tannakianas y un resultado sobre la estructura de las categorías modulares íntegras cuyos objectos simples tienen dimensión a lo sumo igual a 2.

Seminar of May 10th

10/05/2018, Room 27, FaMAF

On the structure of weakly group-theoretical braided fusion categories.

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Speaker: Sonia Natale

Abstract:
In this talk, we will review the definition of the core of a braided fusion category, introduced by Drinfeld, Gelaki, Nikshych and Ostrik, and its relation with G-crossed braided fusion categories, where G is a finite group, introduced by Turaev. Our main result is the determination of such core in the case of a weakly group-theoretical fusion category, according to the definition of Etingof, Nikshych and Ostrik: more precisely, we shall prove that in this case, the core is a Deligne product $\B \boxtimes \D$, where $\D$ is a pointed weakly anisotropic braided fusion category and $\B$ is either trivial or is equivalent to an Ising category. Some applications will be presented, such as a characterization of the solvability of a group-theoretical braided fusion category in terms of Tannakian subcategories, and a result about the structure of integral modular categories all of whose simple objects have Frobenius-Perron dimension at most 2.

Seminar of March 13rd (Friday!)

13/04/2018, room and schedule TBA, FaMAF

Quantum determinants in the FRT construction from Nichols algebras.

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Speaker: Marco Farinati

Abstract:
Given a braided vector space (V,c), the FRT construction provides a (coquasitriangular) bialgebra A=A(c) whose comodule category is braided and contains (V,c) naturally. In general A is a bialgebra but not a Hopf algebra. In this joint work with Gastón García (UNLP), we find sufficient hypothesis for giving a procedure that finds an element “D” of group type in A (necessarily normal), and an explicit formula for the antipode in A[D^{-1}]. These hypotheses are motivated by the properties of finite-dimensional Nichols algebras.

Seminario del viernes 13 de Abril

Viernes 13/04/2018, aula y horario TBA, FaMAF

Determinantes cuánticos en la construccion FRT a partir de álgebras de Nichols.

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Expositor: Marco Farinati (UBA)

Resumen: Dado un espacio vectorial trenzado (V,c), la construccion FRT provee una bialgebra (coquasitriangular) A=A(c) tal que su categoria de comodulos es trenzada y contiene naturalmente a (V,c). En general A es bialgebra pero no es Hopf.
En este trabajo, en colaboracion con Gaston García (UNLP), encontramos hipótesis suficientes para dar un procedimiento que encuentra un elemento de tipo grupo “D” en A (necesariamente normal) y una fórmula explícita de la antípoda en A[D^{-1}]. Estas hipotesis estan motivadas por las propiedades de las álgebras de Nichols de dimensión finita.

Seminar of April 26th

26/04/2018, 14.30 hs, aula 27 FaMAF

Lie subalgebras of the matrix quantum pseudo-differential operators

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Speaker: Karina Batistelli

Abstract:
In this talk, we will characterize the irreducible quasi-finite highest weight modules of some subalgebras of the Lie algebra of N×N matrix quantum pseudodifferential operators. In order to do this, we will first give a complete description of the anti-involutions that preserve the principal gradation of the algebra of N×N matrix quantum pseudodifferential operators and we will describe the Lie subalgebras of its minus fixed points. We will obtain, up to conjugation, two families of anti-involutions that show quite different results when n=N and n<N. We will then focus on the study of the “orthogonal” and “symplectic” type subalgebras found for case n=N, specifically the classification and realization of the quasi-finite highest weight modules.

Seminario 26 de abril

26/04/2018, 14.30 hs, aula 27 FaMAF

Subálgebras de Lie de los operadores pseudo-diferenciales matriciales cuánticos.

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Expositora: Karina Batistelli

Resumen: En esta charla caracterizaremos los módulos de peso máximo cuasifinitos de algunas de las subálgebras del álgebra de Lie de operadores matriciales pseudo-diferenciales cuánticos N×N . Para ello, daremos una descripción completa de las anti-involuciones que preservan la graduación principal del álgebra y describiremos las subálgebras de Lie de sus menos puntos fijos. Obtendremos, salvo conjugación, dos familias de anti-involuciones que dan lugar a resultados diferentes cuando n=N y n<N. Nos enfocaremos entonces en el estudio de las subálgebras de tipo “ortogonal” y “simpléctico” halladas para el caso n=N, puntualmente en la clasificación y realización de los módulos de peso máximo cuasifinitos.