10/09/2015, 16:00 hs, aula 15 FaMAF
Isomorfismo y degeneraciones de \(p\)-álgebras y \(p\)-formas.
Expositor: Dr. Edison Fernández (FaMAF).
Resumen: Sea \(\mathbb{K}\) el cuerpo de los números complejos o de los números reales. Denotemos por \(\mathrm{hom}_{p}(\mathbb{K}^{n};\mathbb{K}^n)\) el espacio vectorial de los mapeos \(p\)-lineales de \(\mathbb{K}^{n}\) en \(\mathbb{K}^{n}\) (\(\cong \mathrm{hom}(\bigotimes^{p}\mathbb{K}^{n};\mathbb{K}^n)\)),
el cual también puede ser visto como el espacio de las estructuras de \(p\)-álgebra sobre \(\mathbb{K}^{n}\) y denotemos por \(\mathrm{hom}_{p}(\mathbb{K}^{n};\mathbb{K})\)
el espacio vectorial de las \(p\)-formas sobre \(\mathbb{K}^{n}\).
Sean \(\mathrm{G}\) un subgrupo de \(\mathrm{GL}(n,\mathbb{K})\), \(V\) y \(W\) subespacios \(\mathrm{G}\)-invariantes de \(\mathrm{hom}_{p}(\mathbb{K}^{n};\mathbb{K}^n)\) y \(\mathrm{hom}_{p}(\mathbb{K}^{n};\mathbb{K})\)
respectivamente, y consideremos la acción de \(\mathrm{G}\) sobre \(V\) y \(W\) dada por cambio de base: para todo \(g \in \mathrm{G}\), \(\mu \in V\) y \(\omega \in W\)
$$
g\cdot \mu(X_1,\ldots,X_p):= g\mu(g^{-1}X_1,\ldots,g^{-1}X_p),
$$
$$
g\cdot \omega(X_1,\ldots,X_p):= \omega(g^{-1}X_1,\ldots,g^{-1}X_p).
$$
Decimos que \(\mu\) y \(\lambda\) en \(V\) son isomorfas con respecto a \(\mathrm{G}\) si \(\lambda \in \mathrm{G}\cdot\mu\); es decir, \(\lambda\) está en la \(\mathrm{G}\)-órbita de \(\mu\). Decimos que \(\mu\) se degenera en \(\lambda\) con respecto a \(\mathrm{G}\) si \(\lambda \in \overline{\mathrm{G}\cdot\mu}\)
donde \(\overline{\mathrm{G}\cdot\mu}\) es la clausura de \(\mathrm{G}\cdot\mu\) con respecto a la topología usual de espacio vectorial de \(V\). De manera análoga se definen los mismos conceptos para la acción de \(\mathrm{G}\) en \(W\).
En general, se conocen muy pocos invariantes de \(p\)-álgebras o \(p\)-formas que ayuden a estudiar el problema de saber cuándo dos de estas estructuras son no isomorfas o cuándo no hay degeneración entre dos estructuras dadas. En la charla daremos nuevos invariantes para abordar ambos problemas y mostraremos varios ejemplos ilustrativos con el fin de motivar las posibilidades de estos invariantes en otras cuestiones relacionadas con los problemas ya mencionados.