01/09/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF
Una introducción a los Operadores Diferenciales sobre módulos
Expositor: Lic. Fredy Restrepo.
Resumen: En la actualidad existen diferentes programas de investigación que buscan formalizar algebráicamente las ecuaciones en derivadas parciales para obtener así una teoría general. Respondiendo a dichas necesidades, queremos exponer brevemente los conceptos básicos que componen uno de estos programas, liderado por el Dr. I.S. Krasil´shchik. Para ello, tomamos como fuentes de estudio las notas del curso de verano dictado por él, en el marco del -«First Italian Diffiety School (Forino-Italia- 1998)».
Iniciaremos la exposición definiendo los operadores diferenciales \(Diff(-,-)\) lineales sobre \(A\)-módulos como un bifunctor junto con los functores de multiderivaciones \(Der_k(-)\), con \(k\) un entero no negativo. Luego, hablaremos de las condiciones de cadena de complejos que dan pie a la \(Diff\)-cohomología de Spenser y mostraremos algunas relaciones con el complejo de De-Rham. Posteriormente, veremos que los functores \(Diff_k(P,-)\) y \(Diff_k(-,Q)\) admite una representación para cada entero no negativo \(k\), vía los \(Jet\)-módulos, con los cuales se obtiene un objeto que goza de la generalidad de los \(R\)-módulos y a su vez, brinda un formalismo algebraico tal que la categoría de fibrados vectoriales sea el ejemplo distinguido. El estudio de estos objetos se conoce en la actualidad como la teoría de \(Jet\)-Bundles.
Finalmente, tendremos una herramienta epistemológica que nos permita entender la Teoría Algebraica de Operadores Diferenciales, como la acción de identificar una subcategoria abeliana \(D(R)\) de \(R\)-módulos tal que:
1) \(D(R)\) es cerrada bajo el producto tensorial de \(R\)-módulos.
2) \(D(R)\) es cerrada bajo la acción de los functores \(Diff(-,-)\) y \(Der(-)\).
3) Los functores \(Diff(P.-)\) y \(Diff(-,Q)\) admiten una representación en \(D(R)\), para cualquier par de objetos \(P,Q\) en \(D(R)\).