Martín Mombelli de FAMAF-UNC
Titulo: Integrales en categorías tensoriales.
Resumen: Un álgebra de Frobenius sobre un cuerpo k es un álgebra A munida de una funcional e:A–> k, que funciona como una traza o una «integral». Estas álgebras caracterizan los funtores monoidales F:Cob2–> vect(k), donde Cob2 es la categoría de cobordismos en dimensión 2; una categoría cuyos objetos son los números naturales y los morfismos curvas que unen puntos. En particular un «nudo» es un morfismo 0–> 0. La categoría Cob2 puede verse como una cuantización de la categoría de transporte paralelo de curvas en una variedad diferenciable.
Cada álgebra de Frobenius provee de invariantes topológicos de nudos. En dimensión 3, las categorías de fusión modulares juegan el rol del álgebra de Frobenius. En este caso, ellas producen los conocidos invariantes de Witten-Reshetikhin y Turaev.
En esta charla nos quedaremos en dimensión 2. Sin embargo intentaremos mostrar cómo se pueden agregar simetrías cambiando la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo vect(k) por una categoría tensorial arbitraria.
Las álgebras de Hopf (usuales sobre un cuerpo k), a través del concepto de integral, dan ejemplos de álgebras de Frobenius. Intentaré dar, en esta charla, las relaciones entre las nociones de integral, álgebras de Frobenius y representaciones, pero en cualquier categoría tensorial.