Victoria Torres de FAMAF – UNC

Título: Álgebras de operadores diferenciales asociadas a pesos matriciales

Resumen:

Dado un peso W, se puede asociar una subálgebra del álgebra de Weyl, denotada D(W), compuesta por todos los operadores diferenciales que tienen como autofunción a la familia de polinomios ortogonales respecto a ese peso. En el caso escalar, esta álgebra es conmutativa y está generada por un operador diferencial de segundo orden. Sin embargo, en el caso matricial, la estructura de D(W) puede ser mucho más compleja y no siempre es completamente conocida.

En esta charla presentaré herramientas para estudiar esta estructura. Comenzaremos con el caso particular en que el peso es una suma directa de pesos clásicos, describiendo explícitamente su álgebra de operadores diferenciales. Luego, estudiaremos la acción de las transformaciones de Darboux sobre estas álgebras y cómo estas permiten generar nuevos ejemplos. Finalmente, exploraremos el álgebra de autovalores asociada y el centro de D(W), con énfasis en resultados recientes sobre su caracterización y propiedades algebraicas.

Bibliografía:

Bono Parisi, I., & Pacharoni, I. (2023). Darboux transformations and the algebra $\mathcal {D}(W) $. arXiv e-prints, arXiv-2311.

Bono Parisi, I., & Pacharoni, I. (2025). Structure of operator algebras for matrix orthogonal polynomials. arXiv e-prints, arXiv-2502.

Bono Parisi, I., & Pacharoni, I. (2024). The algebra $\mathcal {D}(W) $ via strong Darboux transformations. arXiv e-prints, arXiv-2403.

Bono Parisi, I., Pacharoni, I., & Zurrián, I. (2024). Darboux equivalence for matrix-valued orthogonal polynomials. arXiv e-prints, arXiv-2407.

Casper, W. R., & Yakimov, M. (2022). The matrix Bochner problem. American Journal of Mathematics, 144(4), 1009-1065.

Grünbaum, F. A., & Tirao, J. (2007). The algebra of differential operators associated to a weight matrix. Integral equations and operator theory, 58(4), 449-475.Tirao, J., & Zurrián, I. (2018). Reducibility of matrix weights. The Ramanujan Journal, 45, 349-374.

José Ignacio Sánchez de FAMAF-UNC

Título: La categoría Rep(S_t)

Resumen: Fijemos un cuerpo k algebraicamente cerrado de característica cero. Una manera de producir categorías tensoriales simétricas sobre k es considerar Rep(G), con G un grupo finito. Más aún, un resultado fundamental de Deligne (2002) establece que una categoría tensorial simétrica es equivalente a una categoría de representaciones si y solo si cumple ciertas condiciones de crecimiento subexponencial en las longitudes de los objetos. 

Luego, en [Del07], el mismo autor introduce una categoría denotada por Rep(S_t), que podemos interpretarla como la categoría de «representaciones del grupo simétrico en t elementos, t un escalar cualquiera en k». Bajo ciertas condiciones, Rep(S_t) constituye un ejemplo exótico de categoría tensorial simétrica semisimple que no surge como la categoría de representaciones de algún grupo G.

En esta charla nos enfocaremos en Rep(S_t). Repasaremos su construcción, la clasificación de sus indescomponibles, las condiciones bajo las cuales es semisimple y como se relaciona con la categoría usual Rep(S_n) (el caso t=n).

Referencia:

[Del07] – P. Deligne, La catégorie des représentations du groupe symétrique St , lorsque t n’est pas un entier naturel, in: Algebraic Groups and  Homogeneous Spaces, in: Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math., Tata Inst. Fund. Res., Mumbai, 2007, pp. 209–273.

Martín Mombelli de FAMAF-UNC

Titulo: Integrales en categorías tensoriales.

Resumen: Un álgebra de Frobenius sobre un cuerpo k es un álgebra A munida de una funcional e:A–> k, que funciona como una traza o una «integral». Estas álgebras caracterizan los funtores monoidales F:Cob2–> vect(k), donde Cob2 es la categoría de cobordismos en dimensión 2; una categoría cuyos objetos son los números naturales y los morfismos curvas que unen puntos. En particular un «nudo» es un morfismo 0–> 0. La categoría Cob2 puede verse como una cuantización de la categoría de transporte paralelo de curvas en una variedad diferenciable.

Cada  álgebra de Frobenius provee de invariantes topológicos de nudos. En dimensión 3, las categorías de fusión modulares juegan el rol del álgebra de Frobenius. En este caso, ellas producen los conocidos invariantes de Witten-Reshetikhin y Turaev.

En esta charla nos quedaremos en dimensión 2. Sin embargo intentaremos mostrar cómo se pueden agregar simetrías cambiando la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo vect(k) por una categoría tensorial arbitraria.

Las álgebras de Hopf (usuales sobre un cuerpo k), a través del concepto de integral, dan ejemplos de álgebras de Frobenius. Intentaré dar, en esta charla, las relaciones entre las nociones de integral, álgebras de Frobenius y representaciones, pero en cualquier categoría tensorial.

Adrián Andrada de FAMAF-UNC

Título: Nilvariedades complejas casi abelianas
Resumen: Las nilvariedades son variedades compactas obtenidas como el cociente de un grupo de Lie nilpotente simplemente conexo por un subgrupo discreto, y son muy útiles en la geometría como fuente de ejemplos y contraejemplos. En esta charla estudiaremos nilvariedades equipadas con una estructura compleja invariante por la acción del grupo nilpotente en el caso en que este grupo es casi abeliano, es decir, su álgebra de Lie posee un ideal abeliano de codimensión uno. El corchete de Lie de una tal álgebra queda determinado por una matriz. Usando la forma de Jordan de esta matriz y representaciones del álgebra de Lie sl(2,C) daremos expresiones para los números de Betti y los números de Hodge de estas nilvariedades.

Trabajo conjunto con Romina M. Arroyo, María Laura Barberis, Sönke Rollenske y Konstantin Wehler.

Ana Elsener de la Universidad Nacional de Mar del Plata

Título: Categorías de conglomerado de Grassmannianas.

Resumen: Las categorías trianguladas asociadas a Grassmannianas fueron de los primeros ejemplos de categorías de conglomerado luego del auge provocado por la definición/descubrimiento de las álgebras de conglomerado de Fomin y Zelevinsky a principios de los 2000. Vamos a mostrar mediante ejemplos como son definidas estas categorías en el ámbito de las representaciones de álgebras y, si queda tiempo, a hablar de algunos resultados recientes.

Ignacio Bono de FAMAF-UNC

Título: Polinomios Excepcionales 
Resumen: Los polinomios ortogonales excepcionales son una extensión de las familias clásicas de polinomios ortogonales (Hermite, Laguerre, Jacobi), y surgen como soluciones polinómicas a problemas de valores propios de Sturm-Liouville  . A diferencia de los casos clásicos, estos polinomios permiten «saltearse» una cantidad finita de grados (los llamados grados excepcionales), conservando al mismo tiempo muchas de las propiedades estructurales fundamentales. En esta charla presentaremos un método general para construir polinomios excepcionales a partir de los polinomios clásicos y describiremos una caracterización completa de estas familias.

Alfio Antonio Rodriguez de FAMAF-UNC

Título: Álgebras de Hopf básicas con tipo de representación finito.

Resumen: Comenzaremos repasando algunos resultados de [GS] sobre la estructura de las álgebras de Hopf básicas. A continuación, visitaremos el artículo [LL], en donde se clasifican las álgebras de Hopf básicas con tipo de representación finito.   En particular, probaremos que un álgebra de Hopf básica es de tipo de representación finito si y solo si es de Nakayama.

Se mencionarán brevemente algunas extensiones al caso manso.

[GS] E.L. Green, E.L.  – Solberg, O. «Basic Hopf algebras and quantum groups». Math Z. (1998).

[LL] Liu, G – Li, F. «Pointed Hopf algebras of finite corepresentation type and their classifications». Proc. AMS (2006).

Sebastian Halbig

Título: A non-semisimple Kitaev lattice model

Resumen: The Kitaev lattice model is a proposed model for quantum computation with error-correction implemented on a physical level. Classically, this is achieved as follows. One fixes a closed surface S and a semisimple complex Hopf algebra H. Given a CW-decomposition of S, one defines a representation of the Drinfeld double of H. Using integrals and cointegrals one shows that its invariant subspace is a topological invariant: its dimension does not depend on the chosen decomposition but only on the genus of S and the Hopf algebra H. In this talk, based on joint work with A. Hirmer, U.Krähmer, C. Meusburger, and T. Voss, we provide a pedagogical introduction to the model and explain how to extend it to the non-semisimple setting. We present a new approach to proving topological invariance based on bitensor products and centred around a variant of excision.