Atención: esta sesión y las venideras tendrán lugar en el aula 15.

22/10/2015, 14:30 hs, aula 15 FaMAF

Aplicaciones de la existencia de subálgebras lagrangianas en álgebras de tipo \(H\).

Expositor: Dr. Fernando Levstein (FaMAF).

Resumen: Un álgebra de Lie de tipo \(H\), \(\mathfrak{N}=V\oplus\mathfrak{z}\), es nilpotente de paso dos (\([\mathfrak{N},\mathfrak{N}]=\mathfrak{z}=centro(N)\)) y generaliza a las álgebras de Heisenberg, que corresponden al caso \(\dim(\mathfrak{z})=1\). En un trabajo anterior (*), mostramos la existencia de subálgebras abelianas, \(\mathfrak{L}\subset V\), de dimensión \(\frac{1}{2}\dim(V)\). Estas son llamadas lagrangianas y en esta exposición se mostrará como se usan para definir un modelo de Schrödinger para las representaciones de \(\mathfrak{N}\), irreducibles de dimensión infinita.
Sea \(N\) el grupo de Lie conexo correspondiente a \(\mathfrak{N}\), a partir de un reticulado en \(\mathfrak{L}\) podemos construir un subgrupo discreto \(\Gamma\subset N\) tal que el espacio cociente \(\Gamma\backslash N\) sea compacto. Veremos como calcular la descomposición en componentes irreducibles de la representación regular de \(N\) en \(L^2(\Gamma\backslash N)\) y el espectro del sublaplaciano.

(*) Kaplan, A.; Levstein, F.; Saal, L.; Tiraboschi, A. Horizontal submanifolds of groups of Heisenberg type. Ann. Mat. Pura Appl., IV. Ser. 187, No. 1, (2008), 67-91

08/10/2015, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

The rack structure on twisted conjugacy classes in simple groups of Lie type.

Expositora: Dra. Giovanna Carnovale (Università degli Studi di Padova).

Resumen: The classification of finite-dimensional pointed Hopf algebras relies on the classification of finite-dimensional Nichols algebras. This, in turn, is strictly related to the structure of simple racks. A very large family of simple racks consists of twisted conjugacy classes, i.e., orbits for the action \(g\cdot_{\psi}x=gx\,\psi(g^{-1})\) for \(\psi\) a fixed automorphism, in simple groups of Lie type.
In a joint work with Agustin Garcia Iglesias we have proposed a strategy for
a systematic study of twisted classes in such groups and we have given some answers for the group \(PSL(n,q)\) and the so-called graph automorphism, when \(q\) is odd.

24/09/2015, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Álgebras de Hopf punteadas sobre grupos diedrales.

Expositor: Dr. Fernando Fantino (FaMAF).

Resumen: En esta charla se presentarán las principales herramientas que se utilizan para clasificar álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita sobre un grupo \(G\) fijo, según el método del levante. Se mostrará cómo fueron aplicadas estas herramientas para obtener dicha clasificación para cuando \(G\) es un grupo diedral de orden \(8t\), con \(t>2\).

10/09/2015, 16:00 hs, aula 15 FaMAF

Isomorfismo y degeneraciones de \(p\)-álgebras y \(p\)-formas.

Expositor: Dr. Edison Fernández (FaMAF).

Resumen: Sea \(\mathbb{K}\) el cuerpo de los números complejos o de los números reales. Denotemos por \(\mathrm{hom}_{p}(\mathbb{K}^{n};\mathbb{K}^n)\) el espacio vectorial de los mapeos \(p\)-lineales de \(\mathbb{K}^{n}\) en \(\mathbb{K}^{n}\) (\(\cong \mathrm{hom}(\bigotimes^{p}\mathbb{K}^{n};\mathbb{K}^n)\)),
el cual también puede ser visto como el espacio de las estructuras de \(p\)-álgebra sobre \(\mathbb{K}^{n}\) y denotemos por  \(\mathrm{hom}_{p}(\mathbb{K}^{n};\mathbb{K})\)
el espacio vectorial de las \(p\)-formas sobre \(\mathbb{K}^{n}\).

Sean \(\mathrm{G}\) un subgrupo de \(\mathrm{GL}(n,\mathbb{K})\), \(V\) y \(W\) subespacios \(\mathrm{G}\)-invariantes de \(\mathrm{hom}_{p}(\mathbb{K}^{n};\mathbb{K}^n)\) y \(\mathrm{hom}_{p}(\mathbb{K}^{n};\mathbb{K})\)
respectivamente, y consideremos la acción de \(\mathrm{G}\) sobre \(V\) y \(W\) dada por cambio de base: para todo \(g \in \mathrm{G}\), \(\mu \in V\) y \(\omega \in W\)
$$
g\cdot \mu(X_1,\ldots,X_p):= g\mu(g^{-1}X_1,\ldots,g^{-1}X_p),
$$
$$
g\cdot \omega(X_1,\ldots,X_p):= \omega(g^{-1}X_1,\ldots,g^{-1}X_p).
$$
Decimos que \(\mu\) y \(\lambda\) en \(V\) son isomorfas con respecto a \(\mathrm{G}\) si \(\lambda \in \mathrm{G}\cdot\mu\); es decir, \(\lambda\) está en la \(\mathrm{G}\)-órbita de \(\mu\). Decimos que \(\mu\) se degenera en \(\lambda\) con respecto a \(\mathrm{G}\) si \(\lambda \in \overline{\mathrm{G}\cdot\mu}\)
donde \(\overline{\mathrm{G}\cdot\mu}\) es la clausura de \(\mathrm{G}\cdot\mu\) con respecto a la topología usual de espacio vectorial de \(V\). De manera análoga se definen los mismos conceptos para la acción de \(\mathrm{G}\) en \(W\). 

En general, se conocen muy pocos invariantes de \(p\)-álgebras o \(p\)-formas que ayuden a estudiar el problema de saber cuándo dos de estas estructuras son no isomorfas o cuándo no hay degeneración entre dos estructuras dadas. En la charla daremos nuevos invariantes para abordar ambos problemas y mostraremos varios ejemplos ilustrativos con el fin de motivar las posibilidades de estos invariantes en otras cuestiones relacionadas con los problemas ya mencionados.

27/08/2015, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Acciones cruzadas de matched pairs de grupos finitos en categorías tensoriales.

Expositor: Dra. Sonia Natale (FaMAF).

Resumen: En esta charla introduciremos la noción de acción cruzada de un matched pair de grupos finitos \((G,\Gamma)\) en una categoría tensorial, basada en la noción de mónada de Hopf. Demostraremos que toda categoría tensorial \(C\) munida de una acción cruzada del par \((G,\Gamma)\)  da lugar a una categoría tensorial \(C^{(G,Γ)}\) junto con una sucesión exacta de categorías tensoriales
$$\mathrm{Rep}(G)\rightarrow C^{(G,\Gamma)}\rightarrow C.$$

13/08/2015, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Palabras de Lyndon, álgebras de Nichols, grupoides de Weyl.

Expositor: Dr. Nicolás Andruskiewitsch (FaMAF).

Resumen:  Se presentarán las álgebras de Nichols de tipo diagonal mediante las palabras de Lyndon.

26/03/2015, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Representatibilidad de ciertos functores.

Expositor: Dr. Jorge Vargas (FaMAF).

Resumen:  Presentaremos desde el inicio las definicioniones necesarias para formular la existencia de ciertos functores que D. Vogan imagina son representables.

16/04/2015, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Sucesiones exactas de categorías tensoriales con respecto a una categoría módulo.

Expositor: Dra. Julia Plavnik (FaMAF).

Resumen: En esta charla contaremos los resultados de un trabajo reciente de Etingof y Gelaki (arXiv:1504.01300). En el mismo, los autores generalizan la definición de sucesión exacta de categorías tensoriales dada por Bruguieres y Natale e introducen una nueva noción de sucesión exacta de categorías tensoriales con respecto a una categoría módulo. Muestran también que las dimensiones de Frobenius-Perron de las categorías involucradas determinan la exactitud de la sucesión. Un ejemplo importante es el dado por el producto tensorial de Deligne de categorías tensoriales, el cual da lugar a una sucesión exacta de este tipo. Además, el dual de una sucesión exacta de categorías tensoriales en el sentido de Etingof-Gelaki es nuevamente una sucesión exacta, generalizando así resultados conocidos para sucesiones exactas de álgebras de Hopf.

30/04/2015, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Funciones esféricas matriciales asociadas al análogo cuántico del grupo SU(2)xSU(2).

Expositor: Dr. Pablo Roman (FaMAF).

Resumen: Recientemente la teoría de polinomios ortogonales matriciales ha atraído una gran atención. Para encontrar nuevos ejemplos y estudiar sus propiedades, es muy útil contar con una interpretación en términos de representaciones de grupos. Para algunos pares de Gelfand de rango uno, se ha logrado construir explícitamente nuevas familias de polinomios ortogonales matriciales a partir de funciones esféricas de tipo no trivial. Estas familias pueden considerarse como versiones matriciales de los polinomios clásicos de Gegenbauer o de Jacobi.
En esta charla discutiremos una construcción análoga para grupos cuánticos. En la primera parte construiremos explícitamente las funciones esféricas sobre el análogo cuántico del par (SU(2)xSU(2), diag SU(2)) y la familia de polinomios matriciales asociados. En la segunda parte mostraremos como se pueden derivar relaciones de ortogonalidad, una relación de recurrencia de tres términos y operadores matriciales en q-diferencias a partir de las las propiedades de las funciones esféricas sobre el grupo cuántico.
La charla esta basada en un trabajo conjunto con E. Koelink y N. Aldenhoven de U. Nijmegen.

14/05/2015, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Construcción de Representaciones Irreducibles del grupo U(1,1)(O).

Expositor: Dr. Luiz Gutierrez (Chile).

Resumen: Queremos estudiar la teoría de representaciones lineales del grupo cuasi escindido U(1,1)(O), aquí O es el anillo de entero que de una extensión cuadrática ramificada E/F de característica residual impar. Específicamente, U(1,1)(O) es el grupo de matrices invertibles 2 x 2 con coeficientes en O que preservan la forma hermitiana
h: (x,y) , (z,w) ——> x* w – y* z,
donde x –> x* es el elemento no trivial del grupo de Galois de la extensión E/F.
En este seminario construiremos una filtración de subgrupos normales K_n de U(1,1)(O) y desde representaciones irreducibles de K_n usando la teoría de Clifford obtenemos un conjunto de representaciones irreducibles ρ de U(1,1)(O), llamadas primitivas.
Se muestra que al tomar el producto tensorial de cada una de estas representaciones ρ con las representaciones unidimensionales de U(1,1)(O) de la forma χ◦det, donde χ es un carácter lineal de O, son obtenidas todas las representaciones irreducibles de U(1,1)(O).
Dado que las representaciones son de dimensión finita, mostramos las dimensiones y el número de cada uno de los tipos de representaciones primitivas construidas.