El tema de la limitación de time-band-limiting, que se origina en el procesamiento de señales, está dominado por el «milagro» de que un operador integral que aparece naturalmente admite un conmutante diferencial que permite una manera numéricamente eficiente de calcular sus funciones propias. La bispectralidad es un esfuerzo por profundizar en las razones detrás de este milagro. Esta búsqueda ha revelado conexiones inesperadas con varias partes de las matemáticas. En esta charla, consideraremos una versión de bispectralidad con valor matricial y tendremos una condición general en la cual podemos mostrar una manera constructiva y simple de obtener el operador diferencial conmutante. Además, construiremos un operador que conmute tanto con el operador de time-limiting como con el operador de band-limiting.

 

La teoría de representaciones y la teoría de categorías son fuertes herramientas en el estudio de los grupos y las álgebras de Hopf. En esta charla explicaremos las herramientas necesarias para entender la noción del álgebra de caracteres en el contexto de categorías tensoriales. Esta noción fue introducida por K. Shimizu, quien demostró generalizaciones de la ortogonalidad de caracteres, clases de conjugación, entre otros resultados de la teoría de caracteres de grupos al ámbito de categorías de fusión.
Un carácter para un grupo finito \(G\) puede verse como un morfismo de G-módulos \(\chi: kG \to k\), donde a \(kG\) se lo equipa con la acción adjunta. El primer paso para entender el álgebra de caracteres será explicar como generalizar la noción del álgebra adjunta en una categoría tensorial finita arbitraria. Esta generalización juega un rol fundamental en la teoría de Lyubashenko de la acción del grupo modular en categorías tensoriales no semisimples. Para introducir el álgebra adjunta, presentaremos las nociones de (co)mónadas y (co)ends en categorías

 

 

En esta charla daremos una introducción detallada a una técnica de deformación de álgebras de Hopf graduadas que desarrollamos en conjunto con varios autores y que pudimos aplicar con éxito para concluir la clasificación de las álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita, con coradical abeliano. Luego de una breve contextualización histórica, presentaremos este resultado de clasificación y mostraremos las ideas detrás de la prueba. Finalmente estudiaremos el algoritmo de deformación, que puede aplicarse para otros tipos de álgebras de Hopf, y que vamos a ilustrar con algunos ejemplos.

 

 

El Método del Levante introducido por Andruskiewitsch y Schneider a fines de los ’90 ha sido muy fructífero para el problema de clasificación de álgebras de Hopf (de dimensión finita). En efecto, ha permitido la clasificación de todas las álgebras de Hopf punteadas con corradical un álgebra de grupo abeliano, y diversos casos de grupos no abelianos. Dicho método comienza con el estudio de un álgebra de Hopf graduada, y la existencia de dicha álgebra de Hopf graduada se basa en que el corradical es una subálgebra, lo cual no ocurre en todos los casos.

Cuando el corradical no es una subálgebra existe una versión generalizada del Método que introdujeron Andruskiewitsch y Cuadra: se basa en reemplazar el corradical por el corradical de Hopf, que siempre es una subálgebra, aunque no es semisimple. En la presente charla mostraremos cómo se puede proceder en el caso en que el corradical de Hopf es un álgebra básica. La respuesta se basa en resultados de clasificación de álgebras de Hopf punteadas

 

.