Dictado por: Paulo Tirao

Programa:

• Conceptos básicos.
• Álgebras solubles y semisimples.
• Las variedades de álgebras de Lie.
• Teoremas de estructura y clasificación.
• Las variedades de álgebras de Lie de dimensión baja.

Dictado por: Sonia Natale

Programa:

• Unidad I: Generalidades sobre categorías tensoriales. Categorías de fusión. Propiedades
  básicas. El anillo de Grothendieck de una categoría de fusión. Dimensión de
  Frobenius­Perron. Categorías de fusión punteadas. Categorías de fusión íntegras y
  débilmente íntegras. Equivalencia Morita entre categorías de fusión.
• Unidad II: Categorías de fusión trenzadas. El centro de Drinfeld. Ejemplos. Categorías de
  fusión premodulares. Categorías de fusión Tannakianas y no degeneradas.
  Modularización.
• Unidad III: Extensiones graduadas de categorías de fusión. Nilpotencia de una categoría de
  fusión. Categorías de fusión (débilmente) de tipo grupo. Acción de un grupo finito
  en una categoría de fusión. Equivariantización. Categorías de fusión resolubles.
  Caracterización en términos del centro de Drinfeld. Extensiones de categorías de
  fusión. Aplicaciones.

Dictado por: Iván Angiono

Programa:

• Introducción: Homotopía y tipo de homotopía. Retractos por deformación.
  Complejos CW. Equivalencia homotópica. Teorema de Brouwer. Teorema de
  separación de Jordan-Brouwer.
• El Grupo Fundamental: Caminos y homotopía. El grupo fundamental del
  círculo. Homomorfismo inducido. Teorema de van Kampen y aplicaciones a
  complejos CW. Espacios de cubrimiento. Propiedades de levantamientos.
  Clasificación de los espacios de cubrimientos. Transformaciones de
  cubrimientos y acciones de grupos. Espacios K(G,1). Números de Betti.
  Característica de Euler.
• Homología: Δ-Complejos. Homología simplicial. Homología singular.
  Invariancia homotópica. Sucesiones exactas y escisión. La equivalencia entre
  homología simplicial y singular. Grado de funciones y aplicaciones. Homología
  de complejos CW. Sucesión de Mayer-Vietoris. Homología y grupo
  fundamental.
• Cohomología: Teorema del coeficiente universal. Cohomología de espacios.
  El anillo de cohomología. Fórmula de Künneth.

Dictado por: Pablo Román

Programa:

• Grupos de Lie y variedades homogéneas: Definiciones y ejemplos. Álgebras de Lie de un grupo de Lie. Subgrupos de Lie y subálgebras. Cubrimientos. Grupos de Lie simplemente conexos. Homomorfismos y homomorfismos continuos. El Teorema fundamental de Lie. Función exponencial. Subgrupos de Lie cerrados y variedades diferenciables homogéneas. La representación adjunta.
• Álgebras de Lie: Ideales. Producto semidirecto.  Álgebras de Lie solubles y el Teorema de Lie. Álgebras de Lie nilpotentes y el Teorema de Engel. Forma de Killing.  Criterios de Cartan. Álgebras de Lie semisimples. Ejemplos. Descomposición de Levi.
• Medida de Haar. Función modular.
• Grupos de Lie compactos y representaciones. Representaciones de grupos de Lie: definición, ejemplos. Lema de Schur, relaciones de ortogonalidad. Teorema de Peter-Weyl. Álgebras de Lie compactas. Ejemplo: Representaciones de SU(3).

Dictado por: Iván Angiono

Programa:

• Álgebras de Lie. Definición y ejemplos. Módulos sobre álgebras de Lie.
• El álgebra universal de un álgebra de Lie: Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt.
• Álgebras de Lie nilpotentes y solubles: Teoremas de Lie y Engel. Criterio de Cartan.
• Algebras de Lie semisimples. Teorema de Weyl. Teorema de Levi. Descomposición de Chevaley-Jordan. Álgebras de Lie reductivas. Subálgebras de Cartan. Descomposición en espacios de raíces.
• Sistemas de raíces: axiomas. Grupo de Weyl. Matrices de Cartan. Diagramas de Dinkyn. Teorema de Clasificación. Álgebras de Kac-Moody.
• Módulos de peso máximo. Módulos de Verma. Pesos y vectores de peso máximo. Espacios peso. Teorema de existencia y unicidad, Teorema de Peso máximo. Módulos integrables.

Dictado por: Martín Mombelli.

El objetivo de este curso es dar una introducción a las categorías tensoriales y sus representaciones. Se presentarán primero las nociones de categorías, funtores, categorías abelianas, etc. Se introducirán las nociones de categorías monoidales y categorías trenzadas, se darán contrucciones y ejemplos básicos. Por último se describirán las representaciones de las categorías tensoriales finitas y se ejemplificarán en el caso de la categoría de representaciones de un álgebra de Hopf.

Programa:

• Categorías abelianas.
• Categorías tensoriales.
• Categorías tensoriales trenzadas.
• Representaciones de categorías tensoriales finitas.