25/08/2017, 16:00 hs, aula 27 FaMAF

Subespacios esencialmente ortogonales

Expositor: Dr. Esteban Andruchow

Resumen: Dos subespacios S,T de un espacio de Hilbert H son ortogonales si los correspondientes proyectores P_S, P_T cumplen P_SP_T=0. Decimos que son esencialmente ortogonales si P_SP_T es compacto. Estudiamos caracterizaciones espaciales y espectrales (en B(H)) de esta condición.

Presentamos una clasificación de los pares esencialmente ortogonales, y damos ejemplos provenientes del Análisis Armónico y la Teoría de Funciones.

Se trata de un trabajo en colaboración con Gustavo Corach.

11/07/2017, 14:30 hs, aula 15 FaMAF

Nuevas álgebras de Hopf vía método del levante generalizado

Expositor: Lic. João Matheus Jury Giraldi

Resumen:  El método del levante [AS] es una técnica general para se clasificar álgebras de Hopf. Pero este método solo funciona bajo la hipótesis de que el corradical es una subálgebra de Hopf.

Recientemente, Andruskiewitsch y Cuadra [AC] propusieron extender esta técnica considerando la subálgebra generada por el corradical y la filtración relacionada fue llamada de filtración estándar.

Usando la filtración estándar asociada a un método del levante generalizado, mostraremos cómo determinar álgebras de Hopf de dimensión finita cuyo corradical genera la menor álgebra de Hopf K cuyo corradical no es una subálgebra de Hopf. Como consecuencia, se obtienen nuevas álgebras de Hopf de dimensión 64 y nuevas álgebras de Nichols de dimensión 8.

Esta charla se basa en un trabajo conjunto con G. A. García [GGi].

Referencias
[AC] N. Andruskiewitsch and J. Cuadra, On the structure of (co-Frobenius)
Hopf algebras, J. Noncommutative Geometry 7 (2013), Issue 1, pp.
83-104.

[AS] N. Andruskiewitsch and H-J. Schneider, Pointed Hopf algebras, New
directions in Hopf algebras, pp. 1-68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43,
Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.

[GGi] G. A. García and J. M. J. Giraldi, On Hopf Algebras over quantum
subgroups, Preprint: arXiv:1605.03995.

22/06/2017, 14:30 hs, aula 15 FaMAF

La Ley de Reciprocidad de Hermite

Expositor: Dr. Leandro Cagliero.

Resumen:  Las representaciones de irreducibles SU(2)​ están parametrizadas por un entero m ≥ 0​ (m​ es el peso máximo). Si V_m​ es una representación de peso máximo m​, sabemos que dim V_m = m+1​.

La Ley de reciprocidad de Hermite (conocida desde 1854) establece que, como representaciones de SU(2)​,

para todo k​ y m​. (Aquí, P_k(V)​ es el espacio de polinomios homogéneos de grado k​ en el espacio vectorial V​.)
En esta charla presentaremos algunos aspectos de esta simetría, entre ellos su conexión con la fórmula de Cayley-Sylvester, con plethysmos y la «Hook-length formula». Concluiremos con una extensión de la Ley de Hermite que obtuvimos con D. Penazzi.

La jornada constará de dos seminarios, con el siguiente cronograma:

* 14.30-15.30: Seminario de Erik Koelink,

* 15.30-16.00: Café en la Sala de Matemática,

* 16.00-17.00: Seminario de Cesar Galindo-Martinez.

Más información sobre cada charla a continuación.

08/06/2017, 14:30 hs, aula 15 FaMAF

Matrix-valued orthogonal polynomials and group theory

Expositor: Erik Koelink (Holanda)

Resumen: There is an intimate and well-established relation between group theory and special functions. Using this relationship we can obtain matrix-valued orthogonal polynomials by studying matrix-valued spherical functions for compact symmetric spaces. The group theoretic interpretation gives useful information on the matrix-valued orthogonal polynomials involved; one can think of e.g. orthogonality relations, differential operators, recurrence relations, etc. Important necessary information is encoded in branching rules. Similarly, one can study the situation in the quantum setting, where symmetric spaces are rephrased in terms of coideal subalgebras. We will give an introductory lecture, discussing some of the general constructions as well as the specific problems to be solved in these cases. Moreover, in special cases the use of special functions enables us to perform a more detailed analysis of the matrix orthogonal polynomials involved. In the talk we will keep a few special cases in mind. The lecture is based on several papers with or by Noud Aldenhoven, Maarten van Pruijssen (U. Paderborn, Germany) and Pablo Román (U. Nacional Córdoba, Argentina).

08/06/2017, 16:00 hs, aula 15 FaMAF

Extensiones modulares de categorías de fusión super-Tannakianas

Expositor: César Galindo-Martínez (Colombia)

Resumen: Las categorías de fusión simétricas se dividen en dos tipo, Tannakiana y super-Tannkianas. Las categorías Tannakianas son aquellas de la forma Rep(G) con G un grupos finito y las super-Tannakianas corresponden a Rep(G,z) donde (G,z) es un super-grupos finito.

Recientemente, Tian Lan, Liang Kong y Xiao-Gang Wen han propuesto que ordenes topológicos de dimensión 3 con simetrías están clasificados por extensiones modulares de categorías de fusión simétricas. Las extensiones modulares de Rep(G) para un grupo finito G están clasificadas por H^3(G,Q/Z), el tercer grupo de cohomología de G con coeficientes en el toro, mientras que el caso de super-grupos permanece abierto. 

En esta charla explicaremos como construir y clasificar extensiones modulares de categorías super-Tannakiabas haciendo uso de la teoría de extensiones de categorías trenzadas y su teoría de obstrucciones.

18/05/2017, 14:30 hs, aula 15 FaMAF

Series de Poincaré automorfas para SU(2,1)

Expositor: Dr. Roberto Miatello

Resumen: Dado G=SU(2,1) con descomposición de Iwasawa G=NAK, se definirán series de Poincaré asociadas a representaciones irreducibles de N, determinándose su expansión de Fourier.

04/05/2017, 14:30 hs, aula 15 FaMAF

Sobre la Reciprocidad BGG

Expositor: Dr. Cristian Vay.

Resumen: Sea L(λ)​ un módulo simple sobre el álgebra envolvente de un álgebra de Lie semisimple, P(λ)​ su cápsula proyectiva y M(μ)​ un módulo de Verma. La Reciprocidad BGG afirma que [P(λ):M(μ)]=[M(μ):L(λ)], esto es que la cantidad de factores de composición de M(μ)​ isomorfos a L(λ)​ es igual a la cantidad de subcocientes de una filtración standard de P(λ)​ isomorfos a M(μ)​.

Esta propiedad fue descubierta por Bernstein-Gelfand-Gelfand en el trabajo donde introducen la categoría de representaciones ​​  y vale en contextos más generales, como para las categorías de peso máximo definidas por Cline-Parshall-Scott. En [1], Irving encuentra condiciones suficientes para que en una categoría de peso máximo valga la Reciprocidad BGG. Imitando sus ideas, he demostrado que la Reciprocidad BGG también vale para cierta familia de álgebras de Hopf, a pesar de que las categorías de representaciones no son de peso máximo.

En este seminario presentaremos el trabajo de Irving [1], repasaremos sus definiciones y demostraremos sus resultados principales.

[1] Irving, Ronald S. BGG algebras and the BGG reciprocity principle. J. Algebra 135 (1990), no. 2, 363–380. 

La jornada constará de dos seminarios, con el siguiente cronograma:

* 14.00-15.00: Seminario de Ruben Henrard,

* 15.00-15.30: Café en la Sala de Matemática,

* 15.30-16.30: Seminario de Timmy Fieremans.

Más información sobre cada charla a continuación.

11/04/2017, 14:00 hs, aula 27 FaMAF

Monoidal reconstruction and deformation theory

Expositor: Ruben Henrard (Bélgica)

Resumen: Recently the Green rings of a large class of monoidal categories have been determined. Conversely, the question of which rings appear as the Green ring of monoidal categories received some attention. The aim of this talk is to reconstruct monoidal categories from certain invariants (the Green ring being one of them). Keeping the Green ring fixed and letting the other invariants vary, we obtain all deformations of the tensor category.

11/04/2017, 15:30 hs, aula 27 FaMAF

An introduction to Hopf categories and Galois theory for Hopf categories

Expositor: Timmy Fieremans (Bélgica)

Resumen: Hopf categories enriched over braided monoidal categories were introduced in [1]. The notion is linked to several recently developed notions in Hopf algebra theory, such as Hopf group (co)algebras, weak Hopf algebras and duoidal categories. A short summary of these results will be given.

In [2] Descent theory for linear categories is developed. Given a linear category as an extension of a diagonal category, we introduce descent data, and the category of descent data is isomorphic to the category of representations of the diagonal category, if some flatness assumptions are satisfied. Then Hopf-Galois descent theory for linear Hopf categories, the Hopf algebra
version of a linear category, is developed. This leads to the notion of Hopf-Galois category extension. We will briefly give some important theorems and explain the similarity with the classical results. This is all based on joint work with Stefaan Caenepeel.

[1] E. Batista, S. Caenepeel, J. Vercruysse, “Hopf categories”, Algebras Repres. Theory
19 (2016), 1173-1216.
[2] S. Caenepeel, T. Fieremans, “Descent and Galois theory for Hopf categories”, online
available at arXiv: 1702.01337

16/03/2017, 14:30 hs, aula 15 FaMAF

Una breve introducción a los grupos finitos simples de tipo Lie

Expositor: Dr. Nicolás Andruskiewitsch.

Resumen: En 1954, Claude Chevalley escribió : «The principal interest of the algebraic groups seems to me to be that they establish a synthesis, at least partial, between the two main parts of group theory, namely the theory of Lie groups and the theory of finite groups.»

En 1953, Chevalley construyó los análogos de los grupos \(F_4\), \(E_6\) y \(E_7\) sobre cuerpos finitos. Sin embargo, los problemas de cálculo que enfrentó al encarar \(E_8\) lo llevaron a la búsqueda de un método general, que publicó en un famoso artículo en Tohoku Math. Journal, en 1955.

Luego de una breve introducción histórica, se bosquejará el método de Chevalley
y generalizaciones debidas a Suzuki, Steinberg, Tits en términos modernos.