27/10/2016, 16 hs, aula 27 FaMAF

Grupos SLC y aplicaciones

Expositor: Dr. Cesar Polcino Milies.

Resumen: A confirmar.

20/10/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Sobre las reglas de fusión y la resolubilidad de una categoría de fusión

Expositora: Lic. Melisa Escañuela.

Resumen: En esta charla se presentarán los resultados de un trabajo en conjunto con Sonia Natale [1]. Se trabajó en problemas concernientes a la estructura de las categorías de fusión sobre un cuerpo \(k\) algebraicamente cerrado y de característica cero. Se aborda el interrogante de si la condición de que una categoría de fusión sea o no resoluble está determinada por sus reglas de fusión, en base a las nociones de resolubilidad y nilpotencia introducidas en [3].
Consideramos ejemplos provenientes de las representaciones de ciertas álgebras de Hopf semisimples no resolubles asociadas al grupo simétrico \(S_n\) y demostramos que si \(C\) es una tal categoría, entonces cualquier categoría Grothendieck equivalente a \(C\) tampoco es resoluble.
En el caso de las categorías de fusión esféricas estudiamos la cuestión análoga, partiendo de la \(S\)-matriz del centro de Drinfel’d \(Z(C)\) de \(C\) y probamos que este invariante determina la resolubilidad en el contexto de las categorías de fusión de tipo grupo definidas en [2].

[1] M. G. Escañuela González, S. Natale, On fusion rules and solvability of a fusion category, Journal of Group Theory (2015).
[2] P. Etingof , D. Nikshych, V. Ostrik On fusion categories, Annals of Mathematics, 581-642 (2005).
[3] P. Etingof, D. Nikshych, V. Ostrik, Weakly group-theoretical and solvable fusion categories, Adv. Math. 226, 176–205 (2011).

06/10/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Una vesión cuántica del álgebra de distribuciones de \(SL_2\)

Expositor: Dr. Ivan Angiono.

Resumen: En 1980 y 1989 Lusztig propuso dos conjeturas sobre fórmulas de caracteres de representaciones simples, la primera para grupos algebraicos sobre cuerpos de característica positiva, y la segunda para grupos cuánticos en raíces de la unidad. Ambas fórmulas son muy parecidas e involucran el correspondiente grupo afín. En efecto, la prueba de la conjetura en el caso cuántico dio lugar a una prueba para el caso de característica positiva, cuando la misma es suficientemente grande. Sin embargo, a partir de los trabajos de Williamson, dicha cota (a partir de la cual vale la conjetura de Lusztig) es grande; es decir, la conjetura no es válida en general.
En 2015 Lusztig propuso una nueva fórmula que involucra fuertemente la descomposición de los módulos simples de Steinberg. Se busca entonces un análogo en característica cero que reemplace a los grupos cuánticos, en el sentido que su comportamiento sea más cercano a las álgebras de distribuciones y por lo tanto se acerque más al nuevo punto de vista de Lusztig.
Presentaremos una familia de extensiones de Galois del grupo cuántico pequeño de \(sl_2\), que presentan suficiente analogía con las correspondiente familia de subálgebras de dimensión finita del álgebra de distribuciones de \(SL_2\). En efecto, probaremos cierta descomposición de cada módulo simple de dichas álgebras como un producto tensorial análogo a la descomposición de Steinberg.

15/09/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Construcción de categorías \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)-graduadas monoidales

Expositora: Lic. Eugenia Bernaschini.

Resumen: En esta charla se presentará una familia de categorías monoidales \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)-graduadas descripta por Davydov y Runkel en [1]. Cada categoría se obtiene a partir de una categoría Ribbon \(S\), de un álgebra de Hopf \(H\) en dicha categoría y de ciertos datos sobre esta álgebra de Hopf. Como ejemplos de esta construcción se mencionarán la categoría de Tambara-Yamagami y los Fermiones Simplécticos.

[1] \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)-extensions of Hopf algebra module categories by their base categories. Adv. Math. 247 (2013) 192-265, arXiv:1207.3611.

01/09/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Una introducción a los Operadores Diferenciales sobre módulos

Expositor: Lic. Fredy Restrepo.

Resumen: En la actualidad existen diferentes programas de investigación que buscan formalizar algebráicamente las ecuaciones en derivadas parciales para obtener así una teoría general. Respondiendo a dichas necesidades, queremos exponer brevemente los conceptos básicos que componen uno de estos programas, liderado por el Dr. I.S. Krasil´shchik. Para ello, tomamos como fuentes de estudio las notas del curso de verano dictado por él, en el marco del -«First Italian Diffiety School (Forino-Italia- 1998)».
Iniciaremos la exposición definiendo los operadores diferenciales \(Diff(-,-)\) lineales sobre \(A\)-módulos como un bifunctor junto con los functores de multiderivaciones \(Der_k(-)\), con \(k\) un entero no negativo. Luego, hablaremos de las condiciones de cadena de complejos que dan pie a la \(Diff\)-cohomología de Spenser y mostraremos algunas relaciones con el complejo de De-Rham. Posteriormente, veremos que los functores \(Diff_k(P,-)\) y \(Diff_k(-,Q)\) admite una representación para cada entero no negativo \(k\), vía los \(Jet\)-módulos, con los cuales se obtiene un objeto que goza de la generalidad de los \(R\)-módulos y a su vez, brinda un formalismo algebraico tal que la categoría de fibrados vectoriales sea el ejemplo distinguido. El estudio de estos objetos se conoce en la actualidad como la teoría de \(Jet\)-Bundles.
Finalmente, tendremos una herramienta epistemológica que nos permita entender la Teoría Algebraica de Operadores Diferenciales, como la acción de identificar una subcategoria abeliana \(D(R)\) de \(R\)-módulos tal que:
1) \(D(R)\) es cerrada bajo el producto tensorial de \(R\)-módulos.
2) \(D(R)\) es cerrada bajo la acción de los functores \(Diff(-,-)\) y \(Der(-)\).
3) Los functores \(Diff(P.-)\) y \(Diff(-,Q)\) admiten una representación en \(D(R)\), para cualquier par de objetos \(P,Q\) en \(D(R)\).

18/08/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Teoría de Galois para extensiones puramente inseparables

Expositor: Dr. Diego Sulca.

Resumen: En característica \(p>0\), si \(L/K\) es una extensión puramente inseparable de cuerpos, su grupo de Galois es trivial, y por lo tanto no es posible usar la teoría de Galois para describir las subextensiones intermedias. Para remediar esto, en el caso que el exponente de la extensión sea \(1\), se usa el álgebra de Lie de las \(K\)-derivaciones de \(L\) como sustituto del grupo de Galois. En el caso de exponente mayor que \(1\), es necesario introducir las derivaciones de orden superior, también llamadas derivaciones de Hasse-Schmidt. En este caso solo pueden describirse las llamadas subextensiones modulares.
En este seminario exponemos sobre este tema principalmente en base a los trabajos de Jacobson y Sweedler :
– N. Jacobson, Galois theory of purely inseparable fields of exponent one, Amer. J. Math. 66 (1944), 645-648.
– M. E. Sweedler, Structure of inseparable extensions, Ann. of Math. (2) 87 (1968), 401-410.

03/08/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Órdenes de Hopf y la sexta conjetura de Kaplansky

Expositor: Juan Cuadra (Universidad de Almería, Dpto. Matemáticas).

Resumen: Un conocido resultado de Frobenius afirma que la dimensión de toda representación compleja e irreducible de un grupo finito \(G\) divide al orden de \(G\). Todas las demostraciones se basan en que el álgebra de grupo \(\mathbb{C} G\) está definida sobre \(\mathbb{Z}\) como álgebra de Hopf; en otros términos, en que \(\mathbb{Z} G\) es un orden de Hopf de  \(\mathbb{C} G\).
La sexta conjetura de Kaplansky predice que este resultado es válido para álgebras de Hopf complejas y semisimples. Como en el caso de grupos, Larson probó en 1972 que la conjetura sería cierta si tales álgebras admitiesen un orden de Hopf sobre un anillo de números. Desde entonces, la pregunta de si un álgebra de Hopf compleja y semisimple admite un orden de Hopf sobre un anillo de números ha estado subyacente bajo esta conjetura.
En esta charla responderemos negativamente a esta cuestión usando una familia de ejemplos, construida por Galindo y Natale, que son torcimientos de Drinfeld de ciertas álgebras de grupo. El torcimiento contiene una fracción escalar que hace imposible su definición sobre un anillo de números. Los resultados que mostraremos forman parte de un trabajo conjunto con Ehud Meir (Universidad de Hamburgo) publicado en Trans. Amer. Math. Soc. y disponible en arXiv:1307.3269.

21/07/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

No Quantum Symmetry

Expositora: Chelsea Walton (Temple University, USA).

Resumen: I will discuss recent work on the lack of finite dimensional Hopf actions on (quantizations of) commutative domains. This includes results on Hopf actions on Weyl algebras, universal enveloping algebras of finite dimensional Lie algebras, spherical symplectic reflection algebras, quantumpolynomial algebras, twisted homogeneous coordinate rings of abelian varieties, and Sklyanin algebras.

The starting point for these results was joint work with P. Etingof on semisimple Hopf actions on commutative domains (arXiv:1301.4161), and continued in joint work with J. Cuadra and P. Etingof on finite dimensional Hopf actions on Weyl algebras (arxiv:1409.1644, arXiv:1509.01165) and with P. Etingof on such actions on deformation quantizations (arXiv:1602.00532) and on algebraic quantizations (arXiv:1605:00560).

16/06/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Subálgebras de Lie del álgebra de Lie de operadores matriciales pseudo-diferenciales cuánticos.

Expositora: Lic. Karina Batistelli (FaMAF).

Resumen: Las álgebras W-infinitas surgen naturalmente en varias teorías físicas, como la teoría de campos conformes, la teoría del efecto cuántico de Hall, etc. El álgebra \(\hat{D}\) (también denotado como \(W_{1+\infty}\) en literatura física), que es la extensión central del álgebra de Lie \(D\), de operadores diferenciales en el círculo, es la más importante entre esas álgebras.
El estudio de la teoría de representaciones del álgebra de Lie \(\hat{D}\) llevó por analogía al estudio de la teoría de representaciones del álgebra de Lie de operadores pseudo-diferenciales cuánticos \(S_q\), cuya extensión central \(\widehat{S_q}\) es el \(q\)-análogo del álgebra de Lie \(\hat{D}\). Esto llevó a la clasificación de los módulos irreducibles quasifinitos de peso máximo de esta álgebra y de sus subálgebras ([KR],[ KWY]). Posteriormente también se desarrollo el estudio de la teoría de representaciones de la versión matricial del álgebra \(\hat{D}\) y sus subálgebras (cf. [KR], [BKLY], [BL]).
En esta charla daremos una descripción completa de las anti-involuciones del álgebra \(S_q^N\), de operadores matriciales NxN pseudo-diferenciales cuánticos que preservan la Z-graduación principal y describiremos las subálgebras de Lie \(S_q^N\) fijas por dichas anti-involuciones. La finalidad será describir los módulos irreducibles cuasifinitos de peso máximo sobre estas subálgebras de Lie de \(S_q^N\).

[KR]  V. G. Kac  and A. Radul, Quasifinite highest weight modules  over the Lie algebra of differential operators on the circle, Comm. Math. Phys. 157 (1993), 429–457.

[KWY] V. G. Kac, W. Wang and C. Yan,  Quasifinite representations of classical Lie subalgebras of \(W_{1+\infty}\). Adv. Math. 139 (1998),  56–140.

[BKLY] C. Boyallian, V. Kac, J. Liberati and C. Yan, Quasifinite highest weight modules  over the Lie algebra of matrix differential operators on the circle, Journal of Math. Phys. 39 (1998), 2910–2928.

[BL] C. Boyallian and J. Liberati Classical Lie subalgebras of the Lie algebra of matrix differential operators on the circle,  Journal of Math. Phys. 42 (2001), 3735-3753.