03/08/2016, 14:30 hs, aula 27 FaMAF

Órdenes de Hopf y la sexta conjetura de Kaplansky

Expositor: Juan Cuadra (Universidad de Almería, Dpto. Matemáticas).

Resumen: Un conocido resultado de Frobenius afirma que la dimensión de toda representación compleja e irreducible de un grupo finito \(G\) divide al orden de \(G\). Todas las demostraciones se basan en que el álgebra de grupo \(\mathbb{C} G\) está definida sobre \(\mathbb{Z}\) como álgebra de Hopf; en otros términos, en que \(\mathbb{Z} G\) es un orden de Hopf de  \(\mathbb{C} G\).
La sexta conjetura de Kaplansky predice que este resultado es válido para álgebras de Hopf complejas y semisimples. Como en el caso de grupos, Larson probó en 1972 que la conjetura sería cierta si tales álgebras admitiesen un orden de Hopf sobre un anillo de números. Desde entonces, la pregunta de si un álgebra de Hopf compleja y semisimple admite un orden de Hopf sobre un anillo de números ha estado subyacente bajo esta conjetura.
En esta charla responderemos negativamente a esta cuestión usando una familia de ejemplos, construida por Galindo y Natale, que son torcimientos de Drinfeld de ciertas álgebras de grupo. El torcimiento contiene una fracción escalar que hace imposible su definición sobre un anillo de números. Los resultados que mostraremos forman parte de un trabajo conjunto con Ehud Meir (Universidad de Hamburgo) publicado en Trans. Amer. Math. Soc. y disponible en arXiv:1307.3269.